Enunciado

Mostre que A ,   n x n , é invertível se, e somente se, A t A é invertível.

Passo 1

Fala ae, blz?

Vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos determinantes para resolver essa questão.

Vimos ao longo do capítulo que:

det ⁡ A = det ⁡ A t

det ⁡ A . B = det ⁡ A . d e t ⁡ ( B )

Passo 2

Então, se A é invertível, a sua matriz transposta também será invertível.

E ser invertível significa ter um determinante diferente de zero.

Como A é invertível, então:

det ⁡ A = det ⁡ A t ≠ 0

A t A é invertível se, e somente se, seu determinante também for diferente de zero.

Aplicando o determinante, temos:

det ⁡ A t A = det ⁡ A t . d e t ⁡ ( A )

E sabemos que det ⁡ A = det ⁡ A t ≠ 0

Portanto:

det ⁡ A t A = det ⁡ A 2 ≠ 0

Garantindo que A t A é invertível.

Resposta

A t A é invertível pela demonstração.

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