Lista de Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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As afirmativas abaixo tratam da matriz quadrada A e da identidade I . Qual das afirmativas é verdadeira?

a   Se a matriz A é inversível, então det ⁡ A = 0

b   Se det ⁡ A ≠ 0 , então d i m ⁡ ( N u c A ) = 0

c   Se I é a matriz identidade de ordem 3 , então det ⁡ 3 I = 3

d   Se A é 3 × 3 , então det ⁡ 2 A = 2 det ⁡ A

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Seja A uma matriz n × n . Assinale a alternativa FALSA:

a   det ⁡ ( 3 A ) = 3 n det ⁡ A

b   det ⁡ ( A T ) = det ⁡ A

c   Se as linhas da matriz são linearmente dependentes, então det ⁡ A = 0

d   det ⁡ ( A + B ) = det ⁡ A + det ⁡ B

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Diga se as alternativas abaixo são verdadeiras ou falsas:

  1. Se det ⁡ A 3 × 3 = a e det ⁡ B 3 × 3 = b então det ⁡ 3 A B 2 T = 3 b 2 a
  2. Se det ⁡ M = c 4 e det ⁡ D = 6 c ,   c ∈ R * então det ⁡ M - 1 D T = 24

a   Ambas são verdadeiras

b   I é verdadeira e II é falsa

c   I é falsa e II é verdadeira

d   Ambas são falsas

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Calcule o determinante de M - 1 , se

M = 4 11 - 7 - 1 - 3 - 2 2 1 0 3 2 7 0 0 - 2 0 3 0 0 0 3 - 1 6 0 5

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Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n . Considere as seguintes afirmações:

I Se A ~ B , onde as linhas de B são permutações das linhas de A , então det ⁡ A = - det ⁡ B

I I det ⁡ A B = det ⁡ A det ⁡ B

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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a) A soma de duas matrizes inversíveis é uma matriz inversível.

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Seja A uma matriz n × n . Assinale a alternativa FALSA:

a det ⁡ ( 3 A ) = 3 n det ⁡ A

b det ⁡ ( A T ) = det ⁡ A

c   Se as linhas da matriz são linearmente dependentes, então det ⁡ A = 0

d det ⁡ ( A + B ) = det ⁡ A + det ⁡ B

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Sejam A e B matrizes quadradas n × n . Considere as afirmações abaixo:

(I) Se A e B são invertíveis, então AB é invertível.

(II) Se AB é invertível, então A e B são invertíveis.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Verdadeiro ou Falso? Forneça uma justificativa para sua resposta.

( b ) Seja T : R 4 ⟶ R 4 uma projeção sobre a reta r ≔ 11 , - 1,7 , 4 = s p a n 11 , - 1,7 , 4 . Sejam T β a matriz de T numa base β de R 4 e P ∈ M 4 × 4 uma matriz invertível. Então, det ⁡ P T β P - 1 = 0 .

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Para cada k real, considere a transformação T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = k x + 2 y ,   2 x + k y + 2 z ,   2 y + k z

b   Para quais valores de k a transformação T é inversível?

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Considere a matriz A = a i j 4 X 4 dada por

a i j = 3 j - 2 i

Calcule o determinante de A .

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Considere as afirmativas:

  1. Seja A uma matriz n × n com n ímpar. Se A = - A T , então D e t A = 0
  2. Sejam A e B matrizes n × n . Se B não é injetiva então D e t A B = 0

a   A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa I I é verdadeira

b   A afirmativa I é falsa e a afirmativa I I é verdadeira

c   A afirmativa I é verdadeira e a afirmativa I I é falsa

d   A afirmativa I é falsa e a afirmativa I I é falsa

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Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se A é invertível então det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A .
  2. Se A e B são matrizes quadradas e A B é invertível, então det ⁡ A ≠ 0 .
  1. Ambas são verdadeiras
  2. Ambas são falsas
  3. I é falsa II é verdadeira
  4. I é verdadeira e II é falsa

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Considere uma matriz ortogonal A , n × n ; isto é, uma matriz onde o conjunto de suas solunas é ORTONORMAL. Assinale abaixo um valor possível para det ⁡ A :

  1. - 2
  2. 0
  3. - 1
  4. 3 n

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Considere as matrizes A , 3 × 3   e B ,   4 × 4 , onde A = A 1 A 2 A 3 , A i é a i-ésima coluna de A , e B = B 1 B 2 B 3 B 4 , ambas com determinantes positivos:

  1. det ⁡ A 3 A 2 A 1 é negativo
  2. det ⁡ B 4 B 3 B 2 B 1 é negativo
  1. I é verdadeira e II é falsa
  2. Ambas são falsas
  3. Ambas são verdadeiras
  4. I é falsa e II é verdadeira

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Seja A = u 1 v 1 u 2 v 2 tal que det ⁡ A = 1 , Calcule det ⁡ 3 u 1 - 2 v 1 ( 3 u 1 + 2 v 1 ) ( 3 u 2 - 2 v 2 )   ( 3 u 1 + 2 v 2 )

  1. 13 .
  2. 16 .
  3. 12 .
  4. 15 .

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É dado que det ⁡ a b c d e f g h i = 2 . Podemos afirmar que:

( a ) det ⁡ a b c d e f 0 0 0 + det ⁡ 0 0 0 0 0 0 g h i = 2

( b ) det ⁡ 2 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 h 2 i = 4

( c ) det ⁡ g h i a b c d e f = - 2

( d ) det ⁡ a b c g h i d e f = - 2

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Qual é a condição sobre o valor que x pode assumir para que a matriz A seja inversível?

A = 1 1 - 1 0 0 2 1 0 2 - 1 x 3 x - 1 0 1 0

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Considere a matriz A = 1 0 1 1 2 1 - 1 - 1 1 - 1 1 1 - 1 1 - 1 2

a Calcule o determinante da matriz A .

b Essa matriz é inversível? Se sim, calcule A - 1 , se não, justifique.

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Considere a matriz

A = 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1

a Calcule det ⁡ A e, apartir deste, obtenha det ⁡ 3 A .

b Obtenha, se possível, A - 1 e det ⁡ A - 1 .

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Considere a matriz A = 1 2 1 0 2 0 0 1 0 2 1 0 2 - 1 0 1 .

a Calcule det ⁡ A .

b A matriz A é inversível? Se sim, encontre sua inversa.

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a Quais são as operações elementares sobre as linhas de uma amtriz que não alteram o valor de seu determinante?

b Calcule o determinante da matriz A = 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 .

c Essa matriz é inversível? Justifique.

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Considere a matriz

M = 1 - 1 0 - 1 1 0 0 0 4

e) Determine, se possível, M - 1 . Caso contrário, justifique.

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

c) Se A = 1 0 0 0 k 5 2 k - 1 k , então A é invertível seja qual for k ∈ R .

d) Se B =   1 0 0 0 k 5 2 k - 1 k           1 π 2 3 3 - 5 , então B tem nutilidade 2 seja qual for k ∈ R .

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Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

  1. Se uma matriz quadrada A 3 × 3 tem det ⁡ A = 2 , então a nulidade de A   é   1 .
  2. Seja A = 1 a 0 1 0 0 b 0 0 0 1 0 1 c 0 1 . Se a ∙ b ∙ c = 1 , então A não é inversível.

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Seja A uma matriz quadrada e considere o sistema linear A x = b . Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas abaixo:

I - Se o sistema tem solução, então D e t ( A ) é diferente de 0.

I I - Se o sistema não tem solução, então D e t ( A ) é igual a 0.

(a) I é verdadeira e I I é falsa

(b) I é falsa e I I é verdadeira

(c) Ambas são verdadeiras

(d)   Ambas são falsas

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Seja A uma matriz quadrada e considere o sistema Ax=b.

I – Se ele tem solução, então det ⁡ A ≠ 0

II – Se ele não tem solução, então det ⁡ A = 0 .

(a) I é falsa e II é verdadeira.

(b) I é verdadeira e II é falsa.

(c) Ambas são falsas.

(d) Ambas são verdadeiras.

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Seja A uma matriz 4 × 4 . Considere as afirmativas:

(I) Se det ⁡ A = 3 , então det ⁡ 3 A = 9 .

(II) det ⁡ A 3 = det ⁡ A 3

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Sejam A e B duas matrizes, respectivamente, 4 × 3 e 3 × 4 . Pode-se afirmar que:

(a) det ⁡ A B = det ⁡ A d e t ⁡ ( B )

(b) det ⁡ A B = 0

(c) det ⁡ B A = 0

(d) det ⁡ A B = d e t ⁡ ( B A )

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Seja A uma matriz quadrada com determinante nulo:

  1. A é injetiva.
  2. A é sobrejetiva.

a   I e II são verdadeiras.

b   I é verdadeira, mas II é falsa.

c   I é falsa, mas II é verdadeira.

d   I e II são falsas.

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Qual dos argumentos abaixo é aceitável?

( a ) Se λ é autovalor de A , então λ - 1 é autovalor de A - 1 , pois A v = λ v ⟺ A v - 1 = λ v - 1 ⟺ A - 1 v - 1 = λ - 1 v - 1

( b ) det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A , pois det ⁡ A - 1 = det ⁡ 1 A = 1 det ⁡ A

( c ) Suponha que λ ≠ 0 é autovalor de A e v → ≠ 0 → é um autovetor associado. Então, como A v → = λ v → , podemos concluir que A = λ

( d ) Se X 1 e X 2 são soluções de A X = B , então X s = X 1 + X 2 é solução de A X = 2 B , pois A X s = A X 1 + X 2 = A X 1 + A X 2 .

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Compute o determinante da matriz A ∈ M n × n :

A = 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 1 0 0 ⋯ 0

a   - 1 n

b   - 1 n - 1

c   1

d - 1

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Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo-se que

det ⁡ A = 4   e det ⁡ B = 2 ,

Podemos garantir que:

( a ) det ⁡ A + B = 6 e det ⁡ A - B = 2

( b ) det ⁡ A B = 8 e det ⁡ A B - 1 = 2

( c ) det ⁡ A + B = 6 e det ⁡ A B = 8

( d ) det ⁡ A - B = 2 e det ⁡ A B - 1 = 2

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Quais são todos os valores de a ∈ R para os quais o operador linear T : R 3 → R 3 dado por T x , y , z = a x + 2 a y + 2 z , a y + z , a x + 2 y - z NÃO é invertível?

a   a ∈ 0,2

b   a = 0

c   a ∈ 0 , - 2

d   a qualquer

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Considere o sistema linear A x = b , onde A é uma matriz 3 × 3 e b ∈ R 3 . Sem conhecer A e b , mas apenas a forma escalonada da matriz aumentada do sistema,

A b ~ 1 2 0 0 0 1 0 0 0 2 4 0 ,

Nós não podemos afirmar que:

a   A terceira entrada de qualquer solução de A x = b é 4

( b ) A x = 0,0 , 0 admite infinitas soluções

( c ) det ⁡ A = 0

( d ) A x = 2,4 , 0 admite solução

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Responda:

Seja T : V ⟶ V operador linear, com dim ⁡ V = 2 , e sejam α e β bases de V , tais que T α β = 2 3 1 1 . T   é inversível? Se sim, determine uma matriz para T - 1 .

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Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. Se A é invertível então det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A
  2. Se A e B são matrizes quadradas e A B é invertível, então A é invertível.

a   I é verdadeira e I I é falsa

b   Ambas são verdadeiras

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   Ambas são falsas

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Seja A uma matriz quadrada com det ⁡ A = 0 . Assinale a alternativa FALSA:

a   A não é injetiva

b   As linhas de A são linearmente dependentes.

c   O núcleo de A tem dimensão maior que zero

d   A é sobrejetiva

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