Enunciado

Mostre que a reta r : {(x - 1)/(1) = (y + 1)/(- 2) ; z = 0) está contida no plano pi : 2 x + y - 3 z - 1 = 0 .

Passo 1

Para essa questão, temos que testar que, se a reta está contida no plano, então seu vetor diretor ( vec v ) é perpendicular ao vetor normal ( vec n ) ao plano de forma que o produto escalar resultará em zero.

Passo 2

Para acharmos o vetor normal vec n vamos tomar que suas coordenadas são os escalares que multiplicam cada uma das variáveis x , y e z respectivamente.

Então, como esses escalares são 2, 1 e - 3 , as coordenadas do vetor normal são (2 , 1 , - 3) . Logo,

vec n = (2 , 1 , - 3)

Passo 3

Agora, precisamos achar o vetor diretor dessa reta. Vamos usar os denominadores de cada parcela como coordenadas. Assim, o denominador de x é 1, o de y é - 2 e, como z = 0 , essa será a sua coordenada.

Assim,

vec v = (1 , - 2 , 0)

Passo 4

Finalmente, vamos testar o produto escalar entre esses vetores.

vec n * vec v = (2 , 1 , - 3) * (1 , - 2 , 0)

vec n * vec v = (2 xx 1) + [1 xx ( - 2 )] + (- 3 xx 0)

vec n * vec v = 2 - 2 + 0

vec n * vec v = 0

Como o produto escalar entre os vetores normal e diretor é zero, esses vetores são perpendiculares e, consequentemente, a reta está contida no plano.

Assim, encerramos a demonstração

Resposta

Como o produto escalar entre os vetores normal e diretor é zero, esses vetores são perpendiculares e, consequentemente, a reta está contida no plano.

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