Enunciado

Mostre que a reta r : {[[x = 3 t + 1],[y = - 2 t - 1],[z = t]]) é paralela ao plano pi : x + 2 y + z + 3 = 0 .

Passo 1

Para essa questão, temos que testar que, se a reta é paralela ao plano, então ela está contida no plano de forma que o produto escalar do seu vetor diretor vec v com a normal vec n resultará em zero uma vez que são perpendiculares.

Passo 2

Para acharmos o vetor normal vec n vamos tomar que suas coordenadas são os escalares que multiplicam cada uma das variáveis x , y e z respectivamente.

Então, como esses escalares são 1 , 2 e 1 , as coordenadas do vetor normal são (1 , 2 , 1) . Logo,

vec n = (1 , 2 , 1)

Passo 3

Agora, precisamos achar o vetor diretor dessa reta. Para isso, vamos usar de coordenadas os escalares que multiplicam os parâmetros t em cada equação.

Na equação x o escalar é 3 , na y é - 2 e na z é 1 . Portanto, o vetor diretor tem coordendadas

( 3 , - 2 , 1 ) . Logo,

vec v = (3 , - 2 , 1)

Passo 4

Finalmente, vamos testar o produto escalar entre esses vetores.

vec n * vec v = (1 , 2 , 1) * (3 , - 2 , 1)

vec n * vec v = (1 xx 3) + [2 xx ( - 2 )] + (1 xx 1)

vec n * vec v = 3 - 4 + 1

vec n * vec v = 0

Como o produto escalar entre os vetores normal e diretor é zero, esses vetores são perpendiculares e, consequentemente, a reta é paralela ao plano.

Assim, encerramos a demonstração

Resposta

Como o produto escalar entre os vetores normal e diretor é zero, esses vetores são perpendiculares e, consequentemente, a reta é paralela ao plano.

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