Enunciado

Mostre que toda operação elementar possui inversa, do mesmo tipo, ou seja, para cada operação elementar existe uma outra operação elementar do mesmo tipo que desfaz o que a operação anterior fez.

Passo 1

Sabemos que as operações elementares são:

- Permutar duas linhas de uma matriz;

- Multiplicar uma linha da matriz por um escalar não nulo;

- Somar uma linha da matriz a outra linha multiplicada por um escalar não nulo.

Passo 2

Assim, podemos determinar operação inversas a essas operações elementares, ou seja, que desfazem o que elas modificam:

- Permutar novamente as duas linhas:

Seja uma matriz A

A =   a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

A operação elementar de permutação de duas linhas poderia ser realizada, L 1   ↔ L n :

  a n 1 ⋯ a n n ⋮ ⋱ ⋮ a 1 1 ⋯ a 1 n

Para “desfazer” a troca, basta aplicar L n   ↔ L 1 :

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

- Multiplicar a linha da matriz pelo inverso do escalar ( α - 1 ):

Dada a matriz A

A =   a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

A operação elementar de soma uma linha da matriz a outra linha multiplicada por um escalar não nulo poderia ser realizada, L 1   → 2 L 1 :

  2 a 11 ⋯ 2 a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Para “desfazer” a troca, basta aplicar L 1   → 1 2 L 1 :

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

- Somar uma linha da matriz a outra multiplicada pelo escalar negativo (- α ):

A =   a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

A operação elementar de multiplicação de uma linha por um escalar poderia ser realizada, L 1   → L 1 + 2 L 1 :

  a 11 + 2 a n 1 ⋯ a 1 n + 2 a n n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Para “desfazer” a troca, basta aplicar L 1   → L 1 - 2 L :

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

Resposta

Todas as operações elementares possuem operações inversas a elas:

Permutar novamente as duas linhas;

Multiplicar a linha da matriz pelo inverso do escalar ( α - 1 );

Somar uma linha da matriz a outra multiplicada pelo escalar negativo (- α ).

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