Lista de Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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A partir de uma matriz A e através da seguinte sequência de operações elementares:

L 1 ↔ L 2 ;

L 2 ← L 2 - 3 L 3 ;

L 3 ↔ L 2 ;

L 3 ← L 3 - 2 L 1 ,

Obtém-se a matriz B = 1 4 - 1 0 3 2 0 0 5 .

Qual dentre as seguintes é a matriz A ?

Obs.: Na notação utilizada, L i ← L i + α L j indica que a i -ésima é substituída por ela mesma acrescida de α vezes a j -ésima linha e L i ↔ L j indica a troca das linhas i e j .

a   2 17 9 1 4 - 1 0 3 2

b   - 2 - 2 - 12 - 1 5 - 1 0 - 4 - 2

c   2 - 4 13 1 - 5 2 0 2 4

d   - 2 - 14 - 17 - 1 - 4 - 1 0 - 2 - 3

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Coloque a matriz abaixo em sua forma escalonada

1 2 1 1 4 3 0 1 1 0 1 0

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Determine a forma totalmente escalonada das matrizes abaixo:

a   1 2 3 4 4 5 6 7 6 7 8 9

b   1 3 5 7 3 5 7 9 5 7 9 1

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Dada a matriz

1 2 - 1 2 - 1 3 4 3 1

Sabendo que sua forma escalonada é   a 2 c 0 - 5 5 0 0 b , quais são os valores de a , b e c ?

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Dada a matriz

1 - 0.4 - 0.6 - 0.6 0.9 - 0.2 - 0.4 - 0.5 0.8

Dê sua forma escalonada.

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Encontre uma matriz escalonada equivalente à seguinte matriz:

1 - 2 1 0 2 - 8 - 4 5 9

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Considere as afirmativas abaixo:

I – A matriz 1 - 2 3 2 5 6 não pode ser escalonada, pois não é uma matriz quadrada.

II – Se escalonarmos completamente a matriz 1 1 1 1 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1 - 1 1 1 , vamos ter como resultado uma matriz identidade de ordem 4

III – Para escalonar uma matriz, temos que encontrar os pivôs e ir realizando operações entre as linhas até encontrarmos uma matriz triangular inferior.

Estão corretas apenas:

a) I

b) II

c) III

d) I e III

e) I e II

f) II e III

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Escalona Aí a seguinte matriz:

J = 1 2 3 2 2 2 3 2 1

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A é uma matriz qualquer. Escalonando-se A, aparece uma linha de zeros. Considere as afirmações abaixo:

(I) Pode-se concluir que o conjunto das colunas de A é linearmente dependente.

(II) Pode-se concluir que o conjunto das linhas de A é linearmente dependente.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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Seja - 1 4 1 0 - 3 2 0 0 2 a matriz obtida de A através da seguinte sequência de operações elementares:

L 2 ← - 1 2 L 2

L 2 ↔ L 1

L 2 ← L 2 + 2 L 1

L 3 ← L 3 - L 1

L 3 ← L 3 + L 2

Qual dentre as seguintes matrizes é a matriz A ORIGINAL?

( a ) - 2 8 - 3 - 2 6 - 4 1 - 5 0

( b ) 2 - 5 - 5 2 - 4 - 6 - 1 3 - 2

( c ) - 4 - 2 1 - 4 - 4 - 2 2 0 - 1

( d ) 2 - 11 0 2 - 8 - 2 - 1 7 1

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Seja - 1 - 4 - 1 0 - 2 - 3 0 0 - 6 a matriz obtida de A através da seguinte sequência de operações elementares:

L 1 ↔ L 2

L 2 ← L 2 - 3 L 3

L 3 ↔ L 2

L 3 ← L 3 - 2 L 1

Qual dentre as seguintes é a matriz A original?

a   - 2 - 2 - 12 - 1 5 - 1 0 - 4 - 2

b - 2 - 14 - 17 - 1 - 4 - 1 0 - 2 - 3

( c ) 2 - 4 13 1 - 5 2 0 2 4

( d ) 2 17 9 1 4 - 1 0 3 2

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Determine quantos vetores são linearmente independentes L I no conjunto abaixo,

1 , - 2,0 , - 2 , 3 , - 7,1 , - 6 , 1 , - 1,0 , - 3 , - 3,6 , - 1,7

( a ) 2

( b ) 4

( c ) 3

( d ) 1

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Considere as afirmações abaixo:

(I) Seja a 1 v 1 + … + a k v k = 0 uma combinação linear de vetores do R n com coeficientes a 1 , … , a k ,   todos não nulos. Então cada vetor v i é combinação linear dos demais vetores do conjunto v 1 , … , v k .

(II) Seja A uma matriz na forma escalonada. Então uma coluna que não contém pivô é combinação linear das colunas a sua esquerda.

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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A partir de uma matriz A e através da seguinte sequência de operações elementares:

L 1 ↔ L 2 ;

L 2 ← L 2 - 3 L 3 ;

L 3 ↔ L 2 ;

L 3 ← L 3 - 2 L 1 ,

Obtém-se a matriz B = 1 4 - 1 0 3 2 0 0 5 .

Qual dentre as seguintes é a matriz A ?

Obs.: Na notação utilizada, L i ← L i + α L j indica que a i -ésima é substituída por ela mesma acrescida de α vezes a j -ésima linha e L i ↔ L j indica a troca das linhas i e j .

a   2 17 9 1 4 - 1 0 3 2

b   - 2 - 2 - 12 - 1 5 - 1 0 - 4 - 2

c   2 - 4 13 1 - 5 2 0 2 4

d   - 2 - 14 - 17 - 1 - 4 - 1 0 - 2 - 3

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Considere a matriz A 5 × 5 , cujas linhas são v → 1 , v → 2 , … , v → 5 . É dado que uma forma escalonada de A é:

A ~ 0 1 4 7 9 0 0 4 5 6 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Qual dos seguintes conjuntos gera R 5 ? (Abaixo, e → j indica o vetor 0 , … , 0,1 , 0 , … , 0 , cuja única entrada não-nula é a j -ésima.)

( a ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 , e → 1 , e → 2

( b ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5

( c ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 , e → 2 , e → 3 , e → 4

( d ) v → 1 , v → 2 , v → 3 , v → 4 , v → 5 , e → 1 , e → 5

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Sejam A uma matriz e B a sua forma escalonada. Considere as seguintes afirmativas:

  1. As colunas de B são combinações lineares das colunas de A .
  2. As linhas de B são combinações lineares das linhas de A .

( a ) I é falsa, I I é verdadeira.

( b ) I e I I são verdadeiras.

( c ) I é verdadeira, I I é falsa.

( d ) I e I I são falsas.

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Considere as seguintes afirmações:

I   Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum deles é múltiplo escalar dos demais.

I I Se o conjunto u → , v → , w → é linearmente independente, então o conjunto u → + v → , v → + w → , u → + w → também é linearmente independente.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

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O que NÃO podemos afirmar sobre o escalonamento de matrizes reais:

a   As linhas não nulas da forma escalonada de uma matriz formam um conjunto linearmente independente ( L I )

b   Na forma escalonada de uma matriz qualquer, o número de colunas linearmente independentes ( L I ) é igual ao de linhas linearmente independentes ( L I )

c   Ao escalonar uma matriz m × n , com m > n , sempre vamos obter pelo menos m - n linhas nulas

d   Se duas matrizes A e B têm a mesma matriz na forma escalonada, então necessariamente A = B

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Considere as seguintes afirmações:

I Se o conjunto u → , v → , w → é linearmente independente, então o conjunto u → + v → , v → + w → ,   u → + w → também é linearmente independente.

I I Se U = u 1 , … , u l e W = w 1 , … , w k são dois conjuntos linearmente dependentes, então podemos ter U ∩ W linearmente independente.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

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