Enunciado

b) Sejam X 1   e X 2 soluções do sistema AX = B. Mostre que se α X 1 + β X 2 é solução, para quaisquer escalares α e β, então B = 0.

Passo 1

Dado que α X 1 + β X 2 é uma solução para o sistema, podemos escrever como:

A(α X 1 + β X 2 ) = B

Pela distributiva:

A(α X 1 + β X 2 ) = A(α X 1 ) + A(β X 2 ) = B

Pelas propriedades matriciais, isso pode ser reescrito como:

α (A X 1 ) + β (A X 2 ) = B

Passo 2

Sabendo que X 1 e X 2 são soluções do sistema, então, temos que:

A X 1 = B

E

A X 2 = B

Assim, pode-se dizer que:

α (A X 1 ) + β (A X 2 ) = αB + βB

Passo 3

Como temos as seguintes igualdades:

α (A X 1 ) + β (A X 2 ) = B

E

α (A X 1 ) + β (A X 2 ) = αB + βB

Sabemos que:

B = αB + βB

Ou seja:

B = B(α+β)

No entanto, para que essa igualdade seja válida para quaisquer valores de α e β, a única possibilidade é que B = 0.

Resposta

B = B(α+β), para α e β somente se B = 0.

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