Enunciado

Mostre que toda quádrica cônica é uma superfície cônica.

Passo 1

Bom, vamos resolver esta questão da seguinte forma: dada uma curva diretriz Γ e um vértice V , vamos obter a superfície cônica e provar que ela é exatamente uma quádrica cônica.

Iremos fazer isto apenas para um caso. Por generalização, iremos comprovar que toda quádrica cônica é uma superfície cônica. Sendo assim, nosso objetivo é chegar a quádrica z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2 .

Para isto, teremos a seguinte curva diretriz:

Γ : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 z = 1

E vértice V = 0,0 , 0 .

Passo 2

Agora, podemos ir as contas. Para isto, precisamos montar um sistema de equação que caracteriza a superfície Ω .

Seja X um ponto de coordenadas X = x , y , z . Ele pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e V Q → = λ V X → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u 2 a 2 + v 2 b 2 = 1 w = 1

E, se V Q → = λ V X → , também temos:

u = 0 + λ x - 0 v = 0 + λ y - 0 w = 0 + λ z - 0 ⟹ u = λ x v = λ y w = λ z

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u 2 a 2 + v 2 b 2 = 1 w = 1 u = λ x v = λ y w = λ z

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

λ x 2 a 2 + λ y 2 b 2 = 1 λ z = 1 u = λ x v = λ y w = λ z

Isolando λ na segunda equação, temos:

λ z = 1

λ = 1 z

Se z ≠ 0 . Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

λ x 2 a 2 + λ y 2 b 2 = 1

x z 2 a 2 + y z 2 b 2 = 1

x 2 z 2 a 2 + y 2 z 2 b 2 = 1

Ω : x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2

Portanto, a solução é:

Ω : x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2

Solução esta que já contém o vértice V = 0,0 , 0 , pois, ao multiplicar toda a equação por z 2 , retiramos este termo do denominador e incluímos a solução z = 0 .

Agora, percebam que esta superfície cônica é exatamente igual a quádrica cônica que definimos no início da questão. Portanto, generalizando o raciocínio, toda superfície cônica corresponde a uma quádrica cônica.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine representações paramétricas para as seguintes superfícies.g) f x - a z ,y - b z = 0
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada. b) x 2 - y 2 = 9
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação em coordenadas esféricas é dada. b) r = 9 s e c ⁡ ( ∅ )
Determine representações paramétricas para as seguintes superfícies.b) z = - x 2 a 2 + y 2 b 2
Determine representações paramétricas para as seguintes superfícies.c) z 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2