Enunciado

Prove que, se a ≠ b [respectivamente, a = b ], a quádrica Ω : x + h 2 a 2 + z + l 2 b 2 + y + k = 0 é um paraboloide elíptico [respectivamente, de rotação] de vértice - h , - k , - l e eixo de simetria r : X = - h , - k , - l + λ 0,1 , 0 .

Passo 1

Provar que a quádrica consiste em um paraboloide (elíptico ou de rotação), consiste, basicamente, em colocar a quádrica na sua forma reduzida.

Para fazermos isto, vamos ter de mudar o sistema de coordenadas, fazer uma translação. Vamos mudar a origem do sistema de O = 0,0 , 0 para O ' = - h , - k , - l . Para fazermos esta mudança, temos o seguinte sistema:

u = x + h v = y + k w = z + l

Fazendo esta mudança na equação da quádrica, temos:

u 2 a 2 + w 2 b 2 + v = 0

- u 2 a 2 - w 2 b 2 = v

E, como já foi provado na questão 25-22, temos um paraboloide elíptico (isto, claro, se a ≠ b ).

Se fizermos a = b , vamos ter a seguinte relação:

- u 2 a 2 - w 2 a 2 = v

u 2 + w 2 a 2 = - v

u 2 + w 2 = - v ⋅ a 2

Se dissermos que v = - β e β > 0 , temos:

u 2 + w 2 = β ⋅ a 2

O que consiste na equação de uma circunferência. Se a interseção de uma quádrica resultar uma circunferência, temos uma quádrica de rotação!

Portanto, acabamos de provar a primeira parte da questão.

Passo 2

Agora, vamos verificar o seu eixo de simetria. Vamos obter, primeiramente, para o paraboloide obtido após a translação. Isto é:

- u 2 a 2 - w 2 b 2 = v

O eixo de simetria será exatamente o eixo O ' v . Portanto,

O ' v : X = O ' + λ 0,1 , 0

No novo sistema, O ' = 0,0 , 0 , visto que é a origem. Além disto, o vetor diretor continuou 0,1 , 0 = j → , pois a nossa mudança do sistema de coordenadas foi apenas na origem, e não na base!!!

Para finalizarmos, queremos provar que o eixo de simetria é r : X = - h , - k , - l + λ 0,1 , 0 . E esta reta está bem parecida com o nosso O ' v , a diferenciar apenas do ponto.

Mas será que são diferentes mesmo? Percebam que as coordenadas de O ' v no sistema antigo é exatamente O ' = - h , - k , - l . Portanto, as coordenadas da reta O ' v , eixo de simetria do paraboloide, no sistema antigo, é dada por:

O ' v : X = - h , - k , - l + λ 0,1 , 0

E assim, terminamos de provar o que a questão nos pediu!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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