Enunciado

7. (a) Mostre que os três vetores v 1 → = 0 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,   v 2 → = 6 ,   0 ,   5 ,   1 ,   v 3 → = ( 4 ,   - 7 ,   1 ,   3 ) formam um conjunto linearmente dependente em R 4 .

(b) Expresse cada vetor da parte (a) como uma combinação linear dos outros dois.

Passo 1

Para resolvermos nosso problema, vamos encontrar a solução da nossa equação vetorial.

(a) v 1 → = 0 ,   3 ,   1 ,   - 1 ,   v 2 → = 6 ,   0 ,   5 ,   1 ,   v 3 → = ( 4 ,   - 7 ,   1 ,   3 ) em R 4

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 v 1 → + k 2 v 2 → + k 3 v 3 → = ( 0,0 , 0 , 0 )

k 1 0 ,   3 ,   1 ,   - 1 + k 2 6 ,   0 ,   5 ,   1 + k 3 ( 4 ,   - 7 ,   1 ,   3 ) = ( 0,0 , 0,0 )

0 ,   3 k 1 ,   k 1 ,   - k 1 + 6 k 2 ,   0 ,   5 k 2 ,   k 2 + ( 4 k 3 ,   - 7 k 3 ,   k 3 ,   3 k 3 ) = ( 0,0 , 0,0 )

6 k 2 + 4 k 3   ,   3 k 1 - 7 k 3   , k 1 + 5 k 2 + k 3   ,   - k 1 + k 2 + 3 k 3 = ( 0,0 , 0,0 )

Resolvendo o sistema:

6 k 2 + 4 k 3 = 0 3 k 1 - 7 k 3 = 0 k 1 + 5 k 2 + k 3 = 0   - k 1 + k 2 + 3 k 3 = 0

Da primeira equação temos:

6 k 2 + 4 k 3 = 0 → 6 k 2 = - 4 k 3 → k 2 = - 4 6 k 3

k 2 = - 2 3 k 3

Da segunda equação temos:

3 k 1 - 7 k 3 = 0 → 3 k 1 = 7 k 3

k 1 = 7 3 k 3

Logo temos nossa solução:

k 1 = 7 3 k 3 , k 2 = - 2 3 k 3 ,   k 3 = k 3

Fazendo k 3 = 1 , temos a solução:

k 1 = 7 3 , k 2 = - 2 3 ,   k 3 = 1

Logo como existem várias soluções conseguimos expressar um vetor desse conjunto como combinação linear dos outros. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente dependente.

Passo 2

(b)

Agora vamos substituir a nossa solução encontrada na parte (a) e escrever cada vetor como combinação linear dos outros dois.

k 1 v 1 → + k 2 v 2 → + k 3 v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

Para o vetor v 1 → :

7 3 v 1 → - 2 3 v 2 → + v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

7 3 v 1 → = 2 3 v 2 → - v 3 →

v 1 → = 3 7 ⋅ 2 3 v 2 → - 3 7 v 3 →

v 1 → = 2 7 v 2 → - 3 7 v 3 →

Para o vetor v 2 → :

7 3 v 1 → - 2 3 v 2 → + v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

- 2 3 v 2 → = - 7 3 v 1 → - v 3 →

v 2 → = - 3 2 ⋅ - 7 3 v 1 → + - 3 2 ⋅ ( - 1 ) v 3 →

v 2 → = 7 2 v 1 → + 3 2 v 3 →

Para o vetor v 3 → :

7 3 v 1 → - 2 3 v 2 → + v 3 → = ( 0,0 , 0,0 )

v 3 → = - 7 3 v 1 → + 2 3 v 2 →

Resposta

(a) S é um conjunto linearmente dependente

(b) v 1 → = 2 7 v 2 → - 3 7 v 3 → ; v 2 → = 7 2 v 1 → + 3 2 v 3 → ; v 3 → = - 7 3 v 1 → + 2 3 v 2 →

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