Enunciado

Qual é o núcleo do operador D ? E do operador D n ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá!

O núcleo de D são tais que para quaisquer funções D f t = 0 . Ou seja, f ( t ) sempre seja constante (definição de derivada).

E, analogamente, vamos mostrar que ∂ f = n + 1 pertence ao núcleo de D n .

Passo 3

Para k = 1 , verificamos que vale a afirmação.

Suponha que ∂ f = k + 1 pertença ao núcleo D n .

Assim, para o núcleo do operador k + 1 , temos:

D k + 1 = 0 ⇒ D k × D = 0 ⇒   D D k = 0

⇒ D k ∈ N D k + 1 ⇒ f Com ∂ f = k ∈ N ( D k + 1 ) .

Resposta

Portanto, a afirmação se conclui para k + 1 , mostrando, assim, que é verdadeira para o caso k .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a solução completa para a equação diferencial: d y d x + y = 1 1 + e x
Ache a solução completa para a equação diferencial: x 2 d y d x + 2 x y = e x
Ache a solução completa para a equação diferencial: d y d x = y 2 x + y 4
Ache a solução completa para a equação diferencial: d y d x + 2 y cotg ⁡ x = cos ⁡ x
Ache a solução completa para a equação diferencial: 2 y d y d x = 1 e y 2 + x