Enunciado

Qual é o núcleo do operador D ? E do operador D^n ?

Passo 1

Oi, tudo bem? Bora resolver mais um exercício?

Se não se lembra desse conteúdo, é hora de dar aquela revisão. Ok?

Passo 2

Vamos lá!

O núcleo de D são tais que para quaisquer funções D_f (t) = 0 . Ou seja, f ( t ) sempre seja constante (definição de derivada).

E, analogamente, vamos mostrar que del_f = n + 1 pertence ao núcleo de D^n .

Passo 3

Para k = 1 , verificamos que vale a afirmação.

Suponha que del_f = k + 1 pertença ao núcleo D^n .

Assim, para o núcleo do operador k + 1 , temos:

D^(k + 1) = 0 => D^k xx D = 0 => D (D^k) = 0

=> D^k in N (D^(k + 1)) => f Com del_f = k in N ( D^(k + 1) ) .

Resposta

Portanto, a afirmação se conclui para k + 1 , mostrando, assim, que é verdadeira para o caso k .

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