Lista de Exercícios Resolvidos de Introdução à EDO

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Sabe-se que y = c 1 e x + c 2 e - x é uma família de soluções para y " - y = 0 no intervalo ( - ∞ , + ∞ ) . Encontre um membro dessa família satisfazendo as condições iniciais y 0 = 0 e y ' 0 = 1 .

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Considere a equação diferencial y ' ' + p x y ' + q x y = 0 , com p x e q x funções reais.

Sabendo que y 1 x = x e y 2 x = x 2 são soluções da equação determine p x e q x .

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Questão 2: Sobre as soluções lineares, isto é, da forma y = A x + B , da equação y ' ' + x y ' 2 = 4 x podemos afirmar que:

  1. Há infinitas soluções lineares.
  2. Não há soluções lineares.
  3. Há uma única solução linear.
  4. Há um par de soluções lineares.
  5. Nenhuma das demais alternativas:

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Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = e - x + x 3 ,     I = R ,     y i v + 4 y ' ' ' - 3 y ' = x

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Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = 2 - x - x 2 ,     I = 0 , ∞ ,     d y d x = - 1 + 2 x 2 y

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Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = C 1 e x + C 2 e - x ,               I = R ,     y ' ' = y

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Determine os possíveis valores da constante p para que a função f x = x p seja solução da equação x 2 y ' ' - 4 x y ' + 4 y = 0 , no intervalo I = ( 0 , ∞ ) .

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Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = e x 2 + e x 2 ∫ 0 x e - t 2 d t     I = R ,     y ' - 2 x y = 1

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Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = 4 + 2 ln ⁡ x ,     I = 0 , ∞ ,     x 2 y ' ' - x y ' + y = 2 ln ⁡ x

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"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século XVII." Boyce e Di Prima.

Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que

  1. Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita.
  2. Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
  3. Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

( ) ( I I )

( ) I ,   I I ,   ( I I I )

( ) ( I I I )

( )   ( I )

( )   I   e   ( I I )

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Questão 2: Sabendo que y = y x é uma diferenciável que satisfaz a identidade

∫ C y x e - r d r = ∫ 1 x s e s d s

Para todo x ≥ 1 , podemos concluir que

  1. y ' = x e x + y e y 1 = C .
  2. y ' = - x e x + y e y 1 = C .
  3. y ' = x e x + y e y 1 = 0 .
  4. y ' = - x e x + y e y 1 = 0 .
  5. y ' = - x e x + y e não há informação suficiente para concluir quanto vale y 1 .

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Dadas as EDOs abaixo, determine quais são lineares.

I- y ' + 1 4 x y = x 4

II- y ' - 2 x y = x

III- y ' - 3 y = 6

( ) Apenas a I

( ) Apenas a III

( ) Nenhuma alternatina anterior está correta

( ) Apenas a II.

( ) I, II e III são lineares.

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Classificando as seguintes EDOs como LINEAR ou NÃO LINEAR

a) d 2 y d x 2 = - 2 x d y d x + 2 y

b) d x d t = k ( 4 - x ) ( 1 - x )  

encontramos:

( ) (a) não linear (b) não linear

( ) impossível identificar

( ) (a) linear (b) não linear

( ) (a) linear (b) linear

( ) (a) não linear (b) linear

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Verifique se a função y = f x ,   x ∈ I é solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada

f x = 2 + x + x 2 ,     I = 0 , ∞ ,     d y d x = 1 + 2 x 2 y

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