Enunciado

Obtenha, em cada caso, uma equação vetorial da reta s .

  1. s contém o baricentro do triângulo de vértices P = 3,1 , 2 ,   Q = 1,2 , 0 e R = 2 , - 3,1 e é paralela a r : x + z = y = 1 + z - 2 x .
  2. Os pontos em que s intercepta O x e O y z determinam com O um triângulo de área 40 , e s é paralela a r : y - z = x = 1 - 2 y - 2 z .

Passo 1

  1. Temos o sistema
  2. x + z = y 1 + z - 2 x = y

    Para y = 0 , temos 1 3 ,   0 , - 1 3 . Fazendo z = 0 , temos 1 3 , 1 3 ,   0 .

    Assim, o vetor diretor da reta s será paralelo a

    1 3 , 1 3 ,   0 - 1 3 ,   0 , - 1 3 = 0 , 1 3 , 1 3 = 1 3 0 ,   1 ,   1

    O baricentro do triângulo será o ponto

    G = P + Q + R 3 = 3,1 , 2 + 1,2 , 0 + 2 , - 3,1 3 = 2 ,   0,1

    Portanto, a equação de s será:

    s : X = 2,0 , 1 + λ 0,1 , 1

    Passo 2

  3. Temos o sistema

y - z = x 1 - 2 y - 2 z = x

Se x = 0 , temos 0 , 1 4 , 1 4 . Para z = 0 , temos 1 3 , 1 3 ,   0 . Assim, o vetor diretor de s será paralelo a

1 3 , 1 3 ,   0 - 0 , 1 4 , 1 4 = 1 3 , 1 12 ,   - 1 4 = 1 12 4,1 , - 3

Assim, podemos escrever

s : X = x 0 ,   0 ,   0 + λ 4 ,   1 ,   - 3

onde x 0 ,   0 ,   0 é o ponto de intersecção com O x .

Passo 2

Para a intersecção com O y z , basta fazer x = 0 :

x 0 + 4 λ = 0 ∴ λ = - x 0 4

Portanto, tal ponto será:

P = 0 ,   - x 0 4 , 3 x 0 4

Passo 3

Agora, temos que o triângulo O P Q possui área 40 :

A Δ = 1 2 O P → × O A → = 1 2 x 0 ,   0 ,   0 × 0 ,   - x 0 4 , 3 x 0 4 ⟹ 1 2 ‖ i ^ j ^ k ^ x 0 0 0 0 - x 0 4 3 x 0 4 ‖   = 40

∴ 1 2 0 ,   - 3 x 0 2 4 , - x 0 2 4 = 40 ∴ 1 2 3 4 x 0 2 2 + x 0 2 4 2 = 40

1 2 10 x 0 2 4 = 40 ⟹ x 0 = ± 4

Portanto, a equação de s será:

X = - 4 ,   0 ,   0 + λ 4 ,   1 ,   - 3     o u     X = 4,0 , 0 + λ 4 ,   1 ,   - 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O ponto A = ( 4,2 , - 1 ) é o pé da perpendicular baixada de B = ( 1,1 , 1 ) ao plano π . (a) Escreva uma equação de π . (b) Ache as coordenadas do ponto simétrico de B em relação ao plano π . (c) Esc
Escreva uma equação cartesiana do plano paralelo ao eixo O z e que passa pelos pontos A = ( 6,2 , - 1 ) e B = 3,4 , - 3 .
Dados o plano π : 2 x - y - 2 z - 3 = 0 e o ponto A = - 4,6 , 5 , pedem-se:(a)equações da reta r que passa por A e é perpendicular ao plano π ; (b) as coordenadas do ponto de interseção entre r e π ;(
Escreva uma equação cartesiana do plano determinado pelo ponto ( 1,2 , 1 ) e pela reta x - 1 2 = y - 1 - 1 = z
Calcule as coordenadas do ponto A ' , projeção ortogonal de A = 4,0 , 2 sobre o plano 3 x - y - z + 23 = 0