Enunciado

Dados o plano π : 2 x - y - 2 z - 3 = 0 e o ponto A = - 4,6 , 5 , pedem-se:

(a)equações da reta r que passa por A e é perpendicular ao plano π ; (b) as coordenadas do ponto de interseção entre r e π ;(c) as coordenadas do ponto A ' , simétrico de A em relação ao plano π .

Passo 1

Fala aeeee, pessoal! Tudo bem? 😊

Letra(a):

Como a reta r é perpendicular ao plano π , o vetor normal ao plano é o vetor diretor da reta. Portanto:

n → = 2 , - 1 , - 2 ∥ r

Passo 2

Como o ponto A = - 4,6 , 5 ∈ r . A equação da reta será:

r : x = - 4 + 2 t y = 6 - t z = 5 - 2 t ; t   ∈ R

Passo 3

Letra(b):

A interseção entre r e π será o ponto P , tal que r = π :

r = π

2 - 4 + 2 t - 6 - t - 2 5 - 2 t - 3 = 0

t = 3

Passo 4

Substituindo t = 3 na equação da reta:

P = ( 2 , 3 , - 1 )

Passo 5

Letra(c):

O ponto A ' , simétrico de A em relação ao plano π , é um ponto que pertence a reta r . Logo, deve satisfazer a equação da reta. Assim:

A ' = ( - 4 + 2 t , 6 - t , 5 - 2 t )

Para A ' ser simétrico de A , deve-se atender a condição:

d A , π = d ( A ' , π )

Passo 6

Vamos calcular as distâncias:

d A , π = 2 - 4 - 1 6 - 2 5 - 3 4 + 1 + 4 = 9   u . d

d A ' , π = 2 - 4 + 2 t - 1 6 - t - 2 5 - 2 t - 3 4 + 1 + 4 = 9 t - 27 3

Portanto:

9 t - 27 3 = 9

9 t - 27 = 27

t = 6

Ou

9 t - 27 = - 27

t = 0

Se t = 0 , então A = A ' = ( - 4,6 , 5 )

Se t = 6 , então A ' = ( 8,0 , - 7 )

Resposta

l e t r a   a : r : x = - 4 + 2 t y = 6 - t z = 5 - 2 t ; t   ∈ R

l e t r a   b : P = ( 2,3 , - 1 )

l e t r a   c : A ' = ( 8,0 , - 7 )

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos com uma extremidade em r e outra em π e descreva-o geometricamente.(b) π : x + y + z = 0 r : X = 0,0 , 0 + λ 1 ,1 ,1
Sejam A = 1 ,4 ,0 e B = 0 ,1 ,- 2 . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em π 1 e outra em π 2 . De
Seja A = 1,4 , 0 e B = 0,1 , - 2 . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em π . Descrev
Seja A = 1,4 , 0 e B = 0,1 , - 2 . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em π . Descrev
Seja A = 1,4 , 0 e B = 0,1 , - 2 . Nos casos do exercício anterior, obtenha equações do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos paralelos a A B com uma extremidade em r e outra em π . Descrev