Enunciado

Obtenha, em cada caso, equações das retas que contém o ponto P e são tangentes à cônica.

  1. 2 x 2 + 6 x y + 2 y 2 + 6 x - 6 y - 27 = 0             P = 6 - 3 2 2 , - 6 + 9 2 2
  2. x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 8 = 0                                                     P = 1,0
  3. 16 x 2 - 24 x y + 9 y 2 + 125 x + 100 = 0         P = - 1 , - 3
  4. 13 x 2 + 6 3 x y + 7 y 2 - 32 = 0                                       P = 1 + 3 2 ,   - 3 + 1 2

Passo 1

  1. Inicialmente, se substituirmos as coordenadas de P na equação da cônica, veremos que P é um ponto da cônica.
  2. Podemos obter a equação da reta tangente de várias maneiras. Uma delas é a derivada. Assim, vamos derivar ambos lados da equação da cônica:

    d d x 2 x 2 + 6 x y + 2 y 2 + 6 x - 6 y - 27 = d d x 0 ⟺

    4 x + 6 y + 6 x d y d x + 4 y d y d x + 6 - 6 d y d x = 0 ⟺

    d y d x = 4 x + 6 y + 6 6 - 6 x - 4 y = 2 x + 3 y + 3 3 - 3 x - 2 y

    Substituindo as coordenadas de P , temos

    d y d x = 2 6 - 3 2 2 + 3 - 6 + 9 2 2 + 3 3 - 3 6 - 3 2 2 - 2 - 6 + 9 2 2 = - 7 3

    Portanto, a equação da reta tangente será dada por

    y - - 6 + 9 2 2 = - 7 3 x - 6 - 3 2 2 ⟹ 7 x + 3 y - 12 - 3 2 = 0

    Passo 2

  3. Se substituirmos as coordenadas de P na equação da cônica, veremos que P não é um ponto da cônica. Assim, considere a equação da reta que possui coeficiente angular m e que passa por 1,0 :
  4. y - 0 = m x - 1 ⟹ y = m x - m

    Agora, vamos substituir este valor de y na equação da cônica

    x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 8 = 0 ⟺

    x 2 + m x - m 2 - 4 x - 6 m x - m + 8 = 0 ⟺

    x 2 1 + m 2 - x 2 m 2 + 6 m + 4 + m 2 + 6 m + 8 = 0

    Para que a reta seja tangente, a equação acima deve possui apenas uma solução. Portanto,

    Δ = 0 ⟺ 2 m 2 + 6 m + 4 2 - 4 1 + m 2 m 2 + 6 m + 8 = 0 ⟺

    16 m 2 + 24 m - 16 = 0 ⟺ 8 2 m 2 + 3 m - 2 = 0 ⟺ 8 m + 2 m - 1 2 = 0

    Assim, m = - 2 ou m = - 1 / 2 . As equações serão

    y = - 2 x - 1 ⟹ 2 x + y - 2 = 0

    y = 1 2 x - 1 ⟹ x - 2 y - 1 = 0

    Passo 3

  5. Se substituirmos as coordenadas de P na equação da cônica, veremos que P pertence à cônica.
  6. Vamos então derivar a equação da cônica:

    d d x 16 x 2 - 24 x y + 9 y 2 + 125 x + 100 = 0 ⟺

    32 x - 24 y - 24 x d y d x + 18 y d y d x + 125 = 0 ⟺

    d y d x = 32 x - 24 y + 125 24 x - 18 y

    Substituindo x = - 1 e y = - 3 , temos

    d y d x = 32 - 1 - 24 - 3 + 125 24 - 1 - 18 - 3 = 11 2

    Assim, a equação da reta é:

    y + 3 = 11 2 x + 1 ⟹ 11 x - 2 y + 5 = 0

    Passo 4

  7. Se substituirmos as coordenadas de P na equação da cônica, veremos que P pertence à cônica.

Derivando a equação da cônica,

d d x 13 x 2 + 6 3 x y + 7 y 2 - 32 = 0 ⟺

26 x + 6 3 y + 6 3 x d y d x + 14 y d y d x = 0 ⟺

d y d x = - 13 x + 3 3 y 3 3 x + 7 y

Substituindo os valores de x e y , teremos:

d y d x = - 13 1 + 3 2 + 3 3 - 3 + 1 2 3 3 1 + 3 2 + 7 - 3 + 1 2 = - 8 - 5 3

Assim, equação da reta será

y - 1 2 - 3 = - 8 - 5 3 x - 1 + 3 2 ⟺

8 + 5 3 x + y - 16 - 8 3 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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