Enunciado

Obtenha, em cada caso, uma da superfície gerada pela rotação da curva Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O x (no item (c), e é o número de Euler).

(b) Ω 1 : y = 0                     Ω 2 : x + z = 1

Passo 1

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo dado, certo?

A curva que queremos rotacionar é dada pela interseção Ω 1 ∩ Ω 2 . Vamos fazer a representação gráfica dela:

Passo 2

Vamos começar calculando a interseção:

Ω 1 ∩ Ω 2 ⇒ y = 0 ∩ x + z = 1 ⇒ Ω 1 ∩ Ω 2 = 1 ,   0 ,   0 + λ 1 ,   0 , - 1

Passo 3

A interseção acima é uma reta, deve ser rotacionada em torno de O x . Comecemos escolhendo o ponto C = ( 0 ,   0 ,   0 ) no eixo de rotação. As equações de um paralelo são:

x 2 + y 2 + z 2 = μ 2 x + y + z = γ                  

Passo 4

Momento “bizu aí”.

Um ponto ( a ,   b ,   c ) , pertence à interseção do paralelo com a curva se suas coordenadas satisfazem as relações abaixo:

a 2 + b 2 + c 2 = μ 2 a + b + c = γ                   a = 1 + λ                                 b = 0                                                 c = - λ                                           ⇒ 1 + λ 2 + 0 2 + - λ 2 = μ 2 1 + λ + 0 - λ = γ                                     ⇒ 2 λ 2 + 2 λ + 1 = μ 2 γ = 1                                                  

Passo 5

Por fim, para facilitar a nossa visualização, vamos ilustrar a equação da quádrica cônica obtida na resolução acima do sistema:

Portanto, encontramos que a equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo O x é a quádrica cônica de equação: y 2 + z 2 = x - 1 2 .

Resposta

y 2 + z 2 = x - 1 2

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