Enunciado

Obtenha equações da circunferência de centro 1 , - 1 , - 2 que determina uma corda de comprimento 8 sobre a reta interseção dos planos π 1 : 2 x - y + 2 z - 12 = 0 e π 2 : 4 x - 7 y - z + 6 = 0 .

Passo 1

Bom, se queremos a equação de uma circunferência, precisamos de duas coisas: a equação de um plano que contém a reta r e o centro G = 1 , - 1 , - 2 , e a equação de uma superfície esférica.

Para ajudar a nossa visualização, vamos começar fazendo um esboço no plano da circunferência e do que está acontecendo. Vejamos abaixo:

A reta r é a reta dada pela interseção dos dois planos. O segmento A 1 A 2 é a corda de comprimento 8 dada no enunciado da questão. Ao descobrirmos a equação da reta, vamos construir um plano que contém a reta e o ponto G .

E para construir a superfície? Como faremos? Vamos analisar do final pro início. Precisamos de um centro e raio. Podemos assumir que o centro C será o centro da circunferência G . Já o raio da circunferência será o raio da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a reta r . Para isto, vamos resolver o seguinte sistema:

r : 2 x - y + 2 z - 12 = 0 4 x - 7 y - z + 6 = 0

Logo,

y = 2 x + 2 z - 12 4 x - 7 y - z + 6 = 0 ⟹ y = 2 x + 2 z - 12 4 x - 7 ⋅ 2 x + 2 z - 12 - z + 6 = 0

y = 2 x + 2 z - 12 4 x - 14 x - 14 z + 84 - z + 6 = 0 ⟹ y = 2 x + 2 z - 12 - 10 x - 15 z + 90 = 0

y = 2 x + 2 z - 12 x = - 3 z 2 + 9 ⟹ y = - z + 6 x = - 3 z 2 + 9

Portanto, a reta será:

r : X = x , y , z

r : X = - 3 z 2 + 9 , - z + 6 , z

r : X = 9,6 , 0 + - 3 z 2 , - z , z

r : X = 9,6 , 0 + z - 3 2 , - 1,1

Então, se chamarmos z de λ e multiplicarmos o vetor diretor por 2 para eliminar a razão, temos:

r : X = 9,6 , 0 + λ - 3 , - 2,2

Passo 3

Agora, vamos compor nosso plano π . Vamos montar um vetor A G → , sendo A = 9,6 , 0 pertencente a π . Portanto,

A G → = G - A = 1 , - 1 , - 2 - 9,6 , 0 = - 8 , - 7 , - 2

Logo,

n → = A G → ∧ r → = i j k - 8 - 7 - 2 - 3 - 2 2 = - 18 i + 22 j + - 5 k = - 18,22 , - 5

Portanto o plano π tem o seguinte formato:

π : - 18 x + 22 y - 5 z + d = 0

Substituindo as coordenadas de G para descobrir o valor de d , temos:

- 18 ⋅ 1 + 22 ⋅ - 1 - 5 ⋅ - 2 + d = 0

- 18 - 22 + 10 + d = 0

d = 30

Portanto, o plano é:

π : - 18 x + 22 y - 5 z + 30 = 0

Passo 4

Agora, nosso objetivo será descobrir o raio da circunferência Para isto, vamos precisar descobrir a distância de G até A 1 (e automaticamente, A 2 ), que é exatamente o raio da circunferência.

Novamente, vamos voltar ao desenho lá do Passo 1.

Conseguem ver o triângulo retângulo de lados σ , d G , r e 8 / 2 ? Vamos utilizar o teorema de Pitágoras para descobrir o raio σ . Mas, antes disto, vamos calcular a distância d G , r . Portanto,

d G , r = | | A G → ∧ r → | | | | r → | | = - 18 2 + 22 2 + - 5 2 - 3 2 + - 2 2 + 2 2   = 833 17 = 7

Portanto,

σ 2 = d G , r 2 + 4 2

σ 2 = 7 2 + 4 2 = 49 + 16

σ = 65

Então, nossa superfície esférica de centro C = G = 1 , - 1 , - 2 e raio ρ = σ = 65 será:

S : x - 1 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 65

Portanto, a nossa circunferência será:

Γ : x - 1 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 65 - 18 x + 22 y - 5 z + 30 = 0

Resposta

Γ : x - 1 2 + y + 1 2 + z + 2 2 = 65 - 18 x + 22 y - 5 z + 30 = 0

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