Enunciado

Obtenha uma equação da superfície gerada pela rotação de Γ = Ω 1 ∩ Ω 2 em torno de O z .

(a) Ω 1 : y = 0                     Ω 2 : x 2 + z 2 = 1

Passo 1

Devemos obter uma equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno de um eixo dado, certo?

A curva que queremos rotacionar é dada pela interseção Ω 1 ∩ Ω 2 , que é uma cônica. Vamos fazer a representação gráfica dela:

Passo 2

Pela observação 26.9, temos que:

f x 2 + y 2 , z = 0

Trazendo para o nosso exercício, temos que:

f x , z = x 2 + z 2 - 1 = 0

                                            ⇒ f x 2 + y 2 , z = 0

                                                                  ⇒ x 2 + y 2 2 + z 2 - 1 = 0

                                                      ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = 1                        

Portanto, encontramos que a equação da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo O z é   x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Resposta

  x 2 + y 2 + z 2 = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico. z = y 2 - x 2
Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico. 3 6 x 2 - 4 y 2 + 9 z 2 = 0
Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico. 4 x 2 + z 2 - y = 0
Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico. x 2 + y 2 + z 2 = 25
Reduzir cada uma das equações à forma canônica (caso não esteja), identificar a superfície e construir seu gráfico. 4 x 2 - y 2 + 4 z 2 - 4 = 0