Enunciado

Determine os vértices de um hexágono regular inscrito na circunferência

Γ : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 3 = 0 x + y + z = 1

Sabendo que um deles pertence à reta r : X = ( - 1,1 ,   1 / 3 ) + λ 2 , - 1,1 .

Passo 1

Vamos começar pela parte mais fácil, determinar o primeiro vértice do hexágono e o centro da circunferência. Ambas as informações serão fundamentais para o que há por vir!

Bom, vamos começar pelo primeiro vértice do hexágono. Ele será obtido pela interseção da reta r com a circunferência Γ . Então, se fizermos a interseção da reta com o plano π : x + y + z = 1 , teremos a este vértice. Portanto,

- 1 + 2 λ + 1 - λ + 1 3 + λ = 1

λ = 1 3

Portanto, o primeiro vértice é:

A 1 = - 1 + 2 3 , 1 - 1 3 , 1 3 + 1 3 = - 1 3 , 2 3 , 2 3

Passo 2

E, para finalizar esta etapa inicial, vamos encontrar o centro da circunferência. Para isto, vamos colocar a equação da superfície esférica na sua forma reduzida para descobrirmos qual o seu centro. Logo,

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 3 = 0

x 2 + 2 x + y 2 + 2 y + z 2 + 2 z = 3

x 2 + 2 x + 1 - 1 + y 2 + 2 y + 1 - 1 + z 2 + 2 z + 1 - 1 = 3

S : x + 1 2 + y + 1 2 + z + 1 2 = 6

Logo, o centro da superfície é C = - 1 , - 1 , - 1 . Portanto, vamos construir uma reta n que passa por C e é perpendicular ao plano π , logo, tem vetor diretor n → = 1,1 , 1 . Então,

n : X = - 1 , - 1 , - 1 + λ 1,1 , 1

Para obtermos o centro da circunferência, vamos fazer a interseção de n com π . Portanto,

- 1 + λ + - 1 + λ + - 1 + λ = 1

λ = 4 3

Portanto, o centro da circunferência é G = - 1 + 4 3 , - 1 + 4 3 , - 1 + 4 3 = 1 3 , 1 3 , 1 3

Passo 3

Agora já determinarmos todas as informações necessárias para descobrir os outros vértices do hexágono. Para ficar claro o que temos que fazer, vamos fazer um simples desenho esquemático no plano. Portanto,

Não importa se o vértice que obtivemos realmente foi o da quina superior direita. O que importa é a ideia que vamos extrair do desenho acima. Devido a simetria do hexágono, o vértice A 5 é obtido pela soma do ponto G com o vetor A 1 G → . Portanto,

A 5 = G + A 1 G →

A 5 = G + G - A 1

A 5 = 1 3 , 1 3 , 1 3 + 1 3 , 1 3 , 1 3 - - 1 3 , 2 3 , 2 3

A 5 = 1,0 , 0

Já foram dois vértices! E os outros? O que fazer? Para isto, voltamos para a figura. Temos que somar pontos com os vetores u → e v → . Em especial, já podemos escrever que:

A 2 = A 1 + u →

A 3 = A 1 + v →

A 4 = G + u →

A 6 = G + v →

Passo 4

Todas estas relações retiramos da figura. Só que, temos um pequeno problema? Quem são os vetores u → e v → ? Sabemos alguma coisa sobre eles?

Sim, a resposta é sim! Novamente, precisamos utilizar a geometria do hexágono. Devido a questões dos ângulos internos de um hexágono, temos:

60 ° = a n g u → , A 1 G → = a n g v → , A 1 G →

E não só isto, os vetores u → e v → pertencem ao plano π também. Portanto, são ortogonais ao vetor n → = 1,1 , 1 . E não só isso, eles têm o mesmo comprimento que A 1 G → (norma). Basta lembrar dos triângulos equiláteros formados no hexágono.

Sendo assim, seja x → = a , b , c um vetor genérico que queremos descobrir, temos:

x → ⋅ n → = a , b , c ⋅ 1,1 , 1 = 0

a + b + c = 0

c = - a - b

Portanto, x → = a , b , - a - b . Agora, vamos descobrir o que tem que acontecer para que x → forme um ângulo de 60 graus com A 1 G → e tenha o mesmo comprimento que A 1 G → . Portanto,

cos ⁡ 60 ° = x → ⋅ A 1 G → | | x → | | ⋅ | | A 1 G → | |

cos ⁡ 60 ° = x → ⋅ A 1 G → | | A 1 G → | | ⋅ | | A 1 G → | |

1 2 = a , b , - a - b ⋅ 2 3 , - 1 3 , - 1 3 2 3 2 + - 1 3 2 + - 1 3 2 ⋅ 2 3 2 + - 1 3 2 + - 1 3 2

1 2 = 2 a - b + a + b 3 2 3 ⋅ 2 3

1 2 = a 2 3

a = 1 3

Portanto, a = 1 / 3 . Portanto, x → = 1 3 , b , - 1 3 - b . Para finalizarmos descobrindo o valor de b , vamos verificar a questão da igualdade das normas. Portanto,

| | x → | | = | | A 1 G → | |

1 3 2 + b 2 + - 1 3 - b 2 = 2 3

1 9 + b 2 + b 2 + 2 b 3 + 1 9 = 2 3

2 b 2 + 2 b 3 - 4 9 = 0

9 b 2 + 3 b - 2 = 0

Resolvendo esta equação, obtemos b = 1 / 3 e b = - 2 / 3 . As duas soluções são devido aos dois vetores u → e v → que satisfazem estas condições. Portanto,

u → = 1 3 , 1 3 , - 1 3 - 1 3 = 1 3 , 1 3 , - 2 3

v → = 1 3 , - 2 3 , - 1 3 + 2 3 = 1 3 , - 2 3 , 1 3

Passo 5

Agora, só fazer as somas dos pontos com vetores. Relembrando as relações descritas no passo 3, temos:

A 2 = A 1 + u →

A 3 = A 1 + v →

A 4 = G + u →

A 6 = G + v →

Portanto,

A 2 = - 1 3 , 2 3 , 2 3 + 1 3 , 1 3 , - 2 3 = 0,1 , 0

A 3 = - 1 3 , 2 3 , 2 3 + 1 3 , - 2 3 , 1 3 = 0,0 , 1

A 4 = 1 3 , 1 3 , 1 3 + 1 3 , 1 3 , - 2 3 = 2 3 , 2 3 , - 1 3

A 6 = 1 3 , 1 3 , 1 3 + 1 3 , - 2 3 , 1 3 = 2 3 , - 1 3 , 2 3

Resposta

A 1 = - 1 3 , 2 3 , 2 3

A 2 = 0,1 , 0

A 3 = 0,0 , 1

A 4 = 2 3 , 2 3 , - 1 3

A 5 = 1,0 , 0

A 6 = 2 3 , - 1 3 , 2 3

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Determine uma equação da superfície esférica tangente ao plano x + y + z - 1 = 0 no ponto T = 1,1 , - 1 , sabendo que o seu centro está no plano 3 x - y - z + 3 = 0 .
Determine uma equação da superfície esférica que passa pelo ponto A = ( - 1,2 , 1 ) e tangencia o plano x - y + z - 2 = 0 no ponto T = - 1 , 0 , 3 .
Ache uma equação da superfície esférica que tangencia o plano x + y + 2 z - 4 = 0 no ponto A = ( 2,0 , 1 ) e cujo centro pertence ao plano x + y + z + 1 = 0