Enunciado

Obtenha uma equação vetorial da reta t que contém P e é concorrente com r e s .

P = 1 ,   1 ,   1                                       r : x + 3 = y - 2 2 = z - 1 3                               s : X = - 2 ,   0 ,   4 + λ   ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 1

Nós queremos achar uma reta que contenha P e seja concorrente a r e s . Como já temos P , falta apenas encontrar o vetor diretor e já temos nossa reta t .

O problema fica muito mais simples se escrevemos as retas r e s na forma vetorial. Note que a reta r passa pelo ponto - 3 ,   2 ,   1 e ( 0 ,   8 ,   10 ) . Assim, o vetor diretor de r é

u → = 0 ,   8 ,   10 - - 3 ,   2 ,   1 = ( 3 ,   6 ,   9 )

Por simplicidade, vamos usar

u → = ( 1 ,   2 ,   3 )

Assim, sua equação vetorial fica

X = - 3 ,   2 ,   1 + μ   ( 1 ,   2 ,   3 )

Um ponto genérico A pertencendo a reta r deve satisfazer

A = ( - 3 + μ ,   2 + 2 μ ,   1 + 3 μ )

Já um ponto B pertencendo a reta s deve satisfazer

B = - 2 + λ ,   λ ,   4 - λ

Passo 2

Para que a reta t seja concorrente com as retas r e s , ela deve intercepta-las. Vamos supor que esse pontos são A e B , respectivamente. Assim, P ,   A e B devem ser colineares. Portanto,

P A → = k   P B →

Os vetores são dados por

P A → = A - P = ( μ - 4 ,   2 μ + 1 ,   3 μ )

P B → = B - P = ( λ - 3 ,   λ - 1 ,   3 - λ )

Assim,

μ - 4 ,   2 μ + 1 ,   3 μ = k   ( λ - 3 ,   λ - 1 ,   3 - λ )

Portanto,

μ - 4 = k ( λ - 3 ) 2 μ + 1 = k ( λ - 1 ) 3 μ = k ( 3 - λ )

Passo 3

Resolver esse tipo de sistema é bem chato, mas nesse caso tem um truque que salva nossa vida: compare o lado direito da primeira com a terceira equação. Um é o negativo do outro, de modo que

μ - 4 = - 3 μ ⇒ μ = 1

Assim, o sistema vira

k λ - 3 = - 3 k λ - 1 = 3 k 3 - λ = 3

Igualando a segunda e terceira equação:

λ - 1 = 3 - λ ⇒ λ = 2 ⇒ k = 3

Desta forma, os pontos A e B são

A = - 2 ,   4 ,   4           e             B = ( 0 ,   2 ,   2 )

O vetor diretor é dado por

v → = A B → = B - A = ( 2 ,   - 2 ,   - 2 )

Por simplicidade, vamos usar

v → = ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Como a reta deve passar por P = ( 1 ,   1 ,   1 ) , temos que

X = 1 ,   1 ,   1 + λ   ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

Resposta

X = 1 ,   1 ,   1 + λ   ( 1 ,   - 1 ,   - 1 )

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