Enunciado

Obtenha equações da circunferência Γ de centro G que contém os pontos A e B , nos casos:

  1. G = 1,2 , 1 , A = 2,2 , 0 , B = 1,1 , 4
  2. G = 1,1 , 4 , A = 0,3 , 2 , B = 2,3 , 6
  3. G = 2,1 , 1 , A = 1,0 , 2 , B = 3,2 , 0

Passo 1

Antes de tudo, para sabermos se existe uma circunferência G que contém os pontos A e B , precisamos checar a seguinte relação:

d G , A = d G , B

Simplesmente é checar se o ponto G é equidistante dos pontos A e B . Então, checando, temos:

d G , A = d G , B

2 - 1 2 + 1 - 0 2 + 1 - 2 2 = 2 - 3 2 + 1 - 2 2 + 1 - 0 2

1 2 + 1 2 + - 1 2 = - 1 2 + - 1 2 + 1 2

3 = 3

Agora sim, temos dois pontos equidistantes! Podemos então continuar a questão!

Passo 2

Para obtermos a equação de uma circunferência, precisamos da equação de uma superfície esférica e de um plano.

Vamos começar pela superfície esférica. Iremos centrar ela no próprio ponto G e usar como raio o próprio raio da circunferência. Portanto,

ρ = σ = d G , A = 3

Desta forma, temos a seguinte circunferência:

S : x - 2 2 + y - 1 2 + y - 1 2 = 3

Passo 3

Agora, vamos construir um plano π para finalizarmos a obtenção da circunferência.

Para construirmos o plano, precisamos de dois vetores diretores. Eles serão A G → B G → . Calculando-os, temos:

A G → = G - A = 2,1 , 1 - 1,0 , 2 = 1 , 1 , - 1

B G → = G - B = 2,1 , 1 - 3 , 2 , 0 = - 1 , - 1 , 1

Eita!!! Os dois vetores são paralelos A G → = - B G → ! Isto significa que os três pontos são colineares.

Então, não conseguimos compor um único plano π para esta questão. A única coisa que podemos, e devemos fazer, é obter um feixe de planos que contém a reta r , que contém estes três pontos A , B e G . Portanto, possui vetor diretor A G → .

Vamos obter dois planos distintos que contém esta reta. Primeiro, vamos obter o vetor normal do plano   n → = a , b , c . Como o plano contém a reta, sabemos:

n → ⋅ A G → = 0

a , b , c ⋅ 1,1 , - 1 = 0

a + b - c = 0

c = a + b

Bom, agora, vamos escolher números aleatórios de a e b para obter dois vetores normais distintos (não podem ser paralelos). Escolhendo aleatoriamente, temos:

n → 1 = 1,0 , 1 ⟹ π 1 : x + z + d 1 = 0

n → 2 = 0 , 1 , 1 ⟹ π 2 : y + z + d 2 = 0

Como ambos os planos contêm o ponto G = 2,1 , 1 , vamos substituir as coordenadas destes pontos em cada um dos planos para obter o valor do d . Logo, começando por π 1 , temos:

2 + 1 + d 1 = 0

d 1 = - 3

Já para π 2 , temos:

1 + 1 + d 2 = 0

d 2 = - 2

Portanto, a reta r será dada por:

r : x + z - 3 = 0 y + z - 2 = 0

Todo este procedimento que fizemos foi para obter um feixe de planos que contém r . Se multiplicarmos a primeira linha por α e somarmos com o produto da segunda linha por β , teremos o seguinte feixe de planos:

π : α x + β y + α + β z - 3 α - 2 β = 0

Portanto, a circunferência será dada pela interseção do feixe de planos com a superfície esférica obtida anteriormente. Sendo assim,

Γ : x - 2 2 + y - 1 2 + y - 1 2 = 3 α x + β y + α + β z - 3 α - 2 β = 0

Resposta

Γ : x - 2 2 + y - 1 2 + y - 1 2 = 3 α x + β y + α + β z - 3 α - 2 β = 0

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Dada a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 3 x - 9= 0 e o plano x+ y + z - 1 = 0 ,determine a posição relativa da superfície e o plano;se o plano for:externo, calcule a distância do centro ao plano;
Ache o centro e o raio da circunferência x 2+y 2+ z 2- 2 x+ 4 y - 4=0 ⎨ x- 2 y+ z+ 1 = 0⎨
Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + 6 x + 4 y + 8 z + 4= 0 e S 2 :x 2 + y 2 + z 2 + 12 x - 8 y + 4 z + 24 = 0 . Mostre que a interseção de S 1 e S 2 é uma circunferência e calcule o seu centro e raio.
Pelos pontos de interseção da reta X=( - 5 , - 11,9 )+ t ( 3,5 , - 4 ) e da superfície esférica ( x + 2 ) 2+( y - 1 ) 2 + ( z + 5 ) 2= 49 passam planos tangentes à superfície esférica. Determine uma e
Sejam S :x 2 + y 2+ z 2- 8 x- 10 y- 8 z+30=0 e S ' :x 2+ y 2+z 2 + 2 x+ 2 z= 10 . Ache a superfície esférica S ' ' , de maior raio, que seja tangente a S e S ' e tal que os centros de S , S ' e S ' '