Enunciado

Obtenha equações da reta perpendicular comum às retas r e s .

r : x = y - 1 = z + 3                                               s : 2 x - y = y + z = 2 x - z + 1

Passo 1

O problema quer que achemos a reta que seja perpendicular tanto a r como a s . Primeiro vamos escrever a reta s na forma vetorial:

2 x - y = y + z 2 x - y = 2 x - z + 1 ⇒ 2 x - 2 y = z z - y = 1

Assim,

z = y + 1

Substituindo na primeira equação

2 x - 2 y = y + 1 ⇒ 3 y = 2 x - 1 ⇒ y = 2 x 3 - 1 3

Assim,

z = 2 x 3 - 1 3 + 1 = 2 x 3 + 2 3

Portanto,

x , y ,   z = x , 2 x 3 - 1 3 , 2 x 3 + 2 3 = 0 ,   - 1 3 , 2 3 + x   1 , 2 3 , 2 3

Já a reta r pode ser escritca como

x - 0 1 = y - 1 1 = z - - 3 1

Portanto, sua equação vetorial é

X = 0 ,   1 ,   - 3 + μ   ( 1 ,   1 ,   1 )

O vetor diretor de s é u → = ( 3 ,   2 ,   2 ) enquanto que o de r é v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Como queremos uma reta que seja perpendicular as duas, o vetor diretor w → deve ser perpendicular tanto a u → como a v → . Assim, podemos achá-lo pelo produto vetorial:

w → = u → ∧ v → = i → j → k → 3 2 2 1 1 1 = 0 ,   - 1 ,   1

Assim, o vetor diretor dessa reta é

w → = ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Passo 2

Um ponto genérico da reta r é

A = ( μ ,   1 + μ ,   - 3 + μ )

Já um ponto na reta s é

B = x , 2 x 3 - 1 3 , 2 x 3 + 2 3

Como queremos achar uma reta que corta essas duas e tem vetor diretor w → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) , vamos supor que A e B são esses pontos de encontro, de modo que   A B → e w → sejam paralelos. Assim,

A B → = k   w →

Portanto,

x - μ , 2 x 3 - μ - 4 3 , 2 x 3 - μ + 11 3 = ( 0 ,   k , - k )

Logo,

x - μ = 0 2 x 3 - μ - 4 3 = k 2 x 3 - μ + 11 3 = - k

Isolando x na primeira equação:

x = μ

Substituindo nas demais:

- x 3 - 4 3 = k - x 3 + 11 3 = - k

Portanto,

- x 3 - 4 3 = x 3 - 11 3 ⇒ 2 x 3 = 11 3 - 4 3 = 7 3 ⇒ x = μ = 7 2

Assim,

A = 7 2 , 9 2 , 1 2               e                 B = 7 2 ,   2 ,   3

A reta passa por esses dois pontos e tem vetor diretor w → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) . Uma de suas equações é

X = 7 2 ,   2 ,   3 + λ   ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Resposta

X = 7 2 ,   2 ,   3 + λ   ( 0 ,   1 ,   - 1 )

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Escreva uma equação cujo gráfico consista em todos os pontos tendo uma abscissa de 4.
Dada a reta l tendo a equação Ax + By + C = 0, B≠ 0 , determine uma equação da reta que passe pela origem e seja perpendicular a l.
Dada a reta l tendo a equação Ax + By + C = 0, B≠ 0 , determine a inclinação