Enunciado

Obtenha uma equção geral do plano que contém π 1 ∩ π 2 e é perpendicular a π 3 , sendo

π 1 : x - y + z + 1 = 0 ,                     π 2 : x + y - z - 1 = 0                       e                   π 3 : x + y + 2 z - 2 = 0

Passo 1

O problema quer que achemos a equação do plano que contém a reta dada pela intersecção dos planos π 1 ∩ π 2 , e que seja perpendicular a π 3 .

Vamos achar primeiro a equação vetorial da reta π 1 ∩ π 2 . Para isso, vamos achar duas soluções do sistema

x - y + z + 1 = 0 x + y - z - 1 = 0

Fazendo x = y = 0 , obtemos z = - 1 . Portanto, já temos o ponto A = ( 0 ,   0 ,   - 1 ) . Fazendo x = z = 0 , obtemos y = 1 , de modo que temos o segundo ponto B = ( 0 ,   1 ,   0 ) . Como a reta está contida no plano que queremos achar, já sabemos que esses dois pontos pertecem ao plano! Isso vai ser importante no passo 3!

O vetor diretor da reta será

u → = A B → = B - A = ( 0 ,   1 ,   1 )

Assim, a equação dessa reta é

X = 0 ,   0 ,   - 1 + λ   ( 0 ,   1 ,   1 )

Por outro lado, o vetor normal ao plano π 3 é

n → 3 = ( 1 ,   1 ,   2 )

Passo 2

Vamos procurar o vetor normal n → = ( a ,   b ,   c ) do plano. Ele deve ser perpendicular ao vetor normal a π 3 :

n → ⋅ n → 3 = 0 ⇒ a ,   b ,   c ⋅ 1 ,   1 ,   2 = 0 ⇒ a + b + 2 c = 0 ⇒ b = - a - 2 c

Portanto,

n → = a ,   - a - 2 c ,   c

Além disso, como a reta encontrada no passo 1 está contida no plano, devemos ter n → ⊥ u → :

n → ⋅ u → = 0 ⇒ a ,   - a - 2 c ,   c ⋅ 0 ,   1 ,   1 = 0 ⇒ - a - 2 c + c = 0 ⇒ c = - a

Portanto,

n → = a ,   - a + 2 a ,   - a = a   ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Vamos usar

n → = ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 3

Com o vetor normal encontrado na passo 2, a equação do plano é do tipo

x + y - z + d = 0

Vimos no passo 1 que os pontos A e B pertecem ao plano. Escolhendo A = ( 0 ,   0 ,   - 1 ) e substituindo na equação:

0 + 0 - - 1 + d = 0 ⇒ d = - 1

Assim, a equação fica

x + y - z - 1 = 0

Resposta

x + y - z - 1 = 0

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