Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano π em cada caso.

f) π contém P = 1 ,   - 1 ,   1 e r : X = 0 ,   2 ,   2 + λ ( 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 1

Queremos uma equação geral do plano, então vamos precisar do seu vetor normal certo?

Sabemos que o plano passa por P = ( 1 ,   - 1 ,   1 ) e também passa por A = ( 0 ,   2 ,   2 ) , que é um ponto da reta como podemos ver pela sua equação.

Além disso, um dos vetores diretores do plano é o vetor diretor da reta u → = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) , como também podemos ver na sua equação.

Para encontrar o vetor normal, vamos fazer o produto vetorial de A P → e u → , pois esse produto será perpendicular aos dois vetores, que são paralelos ao plano, e então serão paralelos ao plano em si hahaha

Temos:

A P → = P - A = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 )

Calculando o produto vetorial:

1 ,   - 3 ,   - 1 ∧ 1 ,   1 ,   - 1 = ( 4 ,   0 ,   4 )

Então ( 5 ,   - 2 ,   3 ) é um vetor normal do plano que queremos :D

Logo, a equação é escrita assim:

4 x + 4 z + d = 0

Mas e pra acharmos d ??

Passo 2

Pra encontrarmos d , podemos substituir o ponto A ou P na equação do plano, olha:

4 . 0 + 4 . 2 + d = 0

d = - 8

Então a equação é:

4 x + 4 z - 8 = 0

Resposta

f) 4 x + 4 z - 8 = 0

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Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .a) r : X = 1 ,1 ,0 + λ 0 ,1 ,1π : x - y - z = 2
Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .b) r : x - 1 2 = y = zπ : X = 3 ,0 ,1 + λ 1 ,0 ,1 + μ ( 2 ,2 ,0 )
Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .e) r : X = 0 ,0 ,0 + λ 1 ,4 ,1π : X = 1 ,- 1 ,1 + λ 0 ,1 ,2 + μ ( 1 ,- 1 ,0 )
Estude a posição relativa de r e π e, quando forem transversais, obtenha o ponto de interseção P .f) r : x + 2 3 = y - 1 = z + 3 3π : 3 x - 6 y - z = 0
Calcule m e n para que r esteja contida em π .a) r : X = n ,2 ,0 + λ 2 ,m ,mπ : x - 3 y + z = 1 b) r : X = m ,3 ,n + λ 1 ,1 ,n π : n x - n y + m z = 1