Enunciado

Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

c) r : X = 2 ,   3 ,   - 3 + λ ( 1 ,   1 ,   1 )                       A = 1 ,   1 ,   0                       B = ( 2 ,   2 ,   4 )

Passo 1

c) Pela equação de r , encontramos que um ponto genérico da reta é

P = 2 + λ ,   3 + λ ,   - 3 + λ

Então vamos encontrar os valores de λ que fazem esse ponto P ser equidistante a A e B ok?

Passo 2

Queremos os pontos P = 2 + λ ,   3 + λ ,   - 3 + λ de r que tenham a mesma distância até A = ( 1 ,   1 ,   0 ) e até B = ( 2 ,   2 ,   4 ) , então:

d P , A = d ( P ,   B )

Usando a fórmula de distância entre pontos:

2 + λ - 1 2 + 3 + λ - 1 2 + - 3 + λ 2 = 2 + λ - 2 2 + 3 + λ - 2 2 + - 3 + λ - 4 2

λ + 1 2 + λ + 2 2 + λ - 3 2 = λ 2 + λ + 1 2 + λ - 7 2

Desenvolvendo os produtos notáveis:

λ 2 + 2 λ + 1 + λ 2 + 4 λ + 4 + λ 2 - 6 λ + 9 = λ 2 + λ 2 + 2 λ + 1 + λ 2 - 14 λ + 49

3 λ 2 + 1 4 = 3 λ 2 - 12 λ + 50

Elevando os dois lados ao quadrado:

3 λ 2 + 14 = 3 λ 2 - 12 λ + 50

12 λ = 36

λ = 3

Substituindo λ no ponto genérico P , encontramos

P = ( 5 ,   6 ,   0 )

Resposta

c) P = ( 5 ,   6 ,   0 )

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