Enunciado

Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC, sendo A = (1, 1, 0) e sabendo que o lado BC está contido na reta r: (x, y, z) = t(0, 1, -1).

Passo 1

Dado que temos um triângulo equilátero, sabemos que os ângulos entre seus lados são todos iguais a 60°.

A partir da equação da reta, podemos inferir que nela estão contidos pontos de coordenadas P r = ( 0 , t , - t ) . O vetor que liga o vértice A a um ponto qualquer contido na reta e, consequentemente, contido no lado BC do triângulo é:

A P r → = 0 - 1 , t - 1 ,   - t - 0

A P r → = - 1 ,   t - 1 ,   - t

Também pela equação da reta, sabemos que seu vetor diretor é V = (0, 1, -1). Dessa forma, a partir de todas essas informações, podemos calcular o produto:

A P r → ∙ V = A P r → V cos ⁡ 60 °

Passo 2

A P r → ∙ V = - 1 ∙ 0 + t - 1 ∙ 1 + - t ∙ - 1 = 2 t - 1

A P r → =   ( - 1 ) 2 + ( t - 1 ) 2 + ( - t ) 2 = 2 t 2 - 2 t + 2

V =   0 2 + 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2

cos ⁡ 60 ° = 1 2

Substituindo na fórmula:

2 t - 1 =   2 t 2 - 2 t + 2 ∙ 2 ∙ 1 2

Passo 3

Manipulando algebricamente a fórmula, chegamos em:

2 t - 1 =   t 2 - t + 1

Elevando ambos os lados da igualdade:

4 t 2 - 4 t + 1 =   t 2 - t + 1

3 t 2 - 3 t =   0

Realizando a conta da equação do segundo grau, obtemos dois valores de t:

t ( 3 t - 3 ) =   0

t = 0

t = 1

Substituindo na equação da reta os valores de t encontrados, podemos achar os pontos B e C, visto que estes estão incluídos na reta r:

0 (0, 1, -1) = (0, 0, 0)

1 (0, 1, -1) = (0, 1, -1)

Resposta

Os pontos B e C têm coordenadas (0, 0, 0) e (0, 1, -1).

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Considere os vetores V = i → + 3j → + 2k → , W = 2 i → -j → +k → e U = i → - 2 j → . Seja π um plano paralelo aos vetores W e U e r uma reta perpendicular ao plano π . Ache a projeção ortogonal do vet
Ache as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor (2, 2, 2) e que distam 3 do ponto (1, 1, 1).
f) Qual o ponto P de π 1 que está mais próximo da origem?
b) Calcule a distância de r a pi .