Enunciado

Obtenha os vértices de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 2 6 , que tem um cateto contido na reta r : X = 8,5 , 1 + λ 3 ,   2,1 , o outro paralelo a π : 3 x + y + z = 0 , e um vértice na reta s : X = 4,4 , 5 + λ 1,1 , 1 (SO).

Passo 1

Consideremos o triângulo A B C , retângulo em A . Suponha que A B esteja contido em r .

Vamos começar calculando a intersecção entre r e s :

X r = X s ∴ 3 λ + 8 ,   2 λ + 5 ,   λ + 1 = μ + 4 ,   4 + μ ,   5 + μ ∴ 3 λ + 8 = μ + 4 2 λ + 5 = μ + 4 λ + 1 = μ + 5

Vemos que não há nenhum ponto de intersecção, pois o sistema é incompatível, o que mostra que C deve estar contido em s .

Passo 2

Vamos considerar u → = x , y , z como sendo o vetor diretor da reta A C . Devemos ter

u → ⋅ 3 ,   2 ,   1 = 0 ⟹ 3 x + 2 y + z = 0

u → ⋅ 3 ,   1 ,   1 = 0 ⟹ 3 x + y + z = 0

A primeira equação vem do fato que u → deve ser perpendicular à reta s e a segunda vem do fato que u → deve ser ortogonal ao vetor diretor do plano π .

Subtraindo as equações, encontramos que y = 0 e z = - 3 x . Assim,

u → = x ,   0 ,   - 3 x = x 1 ,   0 ,   - 3

Passo 3

O plano formado pelos vetores 1,0 , - 3 e 3 ,   2 ,   1 é o plano do triângulo retângulo. Assim, calculando o vetor diretor do plano:

v → = 1,0 , - 3 × 3 ,   2 ,   1 = i ^ j ^ k ^ 1 0 - 3 3 2 1 = 2 3 ,   - 5 ,   1

Assim, um vetor diretor do plano será 3 ,   5 ,   1 e sua equação:

3 x - 5 y + z + d = 0

Como a reta r deve pertencer ao plano, fazendo x = 8 ,   y = - 5 e z = 1 , temos:

24 - 2 5 + 1 + d = 0 ∴ d = 0

Assim,

π 1 : 3 x - 5 y + z = 0

Passo 4

O vértice C será encontrado fazendo a intersecção de s com π 1 :

X s = 4 + λ ,   4 + λ ,   5 + λ

Portanto,

3 4 + λ - 5 4 + λ + 5 + λ = 0 ⟹ λ = - 3

Finalmente, temos que C = 1,1 , 2 .

Passo 5

Assim, a reta que A C terá equação:

t :   X = 1 ,   1 ,   2 + μ 1,0 , - 3

O vértice A será a interseção entre t e r :

X t = X r ⟹ 1 + μ ,   1 ,   2 - 3 μ = 8 + 3 λ ,   2 λ + 5 ,   λ + 1 ∴ 1 + μ = 8 + 3 λ 1 = 2 λ + 5 2 - 3 μ = λ + 1

Da segunda equação, temos λ = - 2 , de modo que μ = 1 . Assim,

A = 2 ,   1 ,   - 1

Passo 6

Agora, para encontrar B , basta encontrar o ponto da reta r que se encontra a uma distância 2 6 de C . Seja B = 8 + 3 k ,   2 k + 5 ,   k + 1 . Temos:

d B ,   C = 8 + 3 k - 1 2 + 2 k + 5 - 1 2 + k + 1 - 2 2 = 2 6 ⟹

3 k + 7 2 + 2 k + 4 2 + k - 1 2 = 24 ⟹

k 2 + 4 k + 3 = 0 ∴ k = - 1 k = - 3

Assim, temos B = 5 ,   3 ,   0 ou B = - 1 ,   - 1 ,   - 2 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos Problemas 25 a 30 , obter uma equação geral do plano:25) Paralelo ao eixo z e que contenha os pontos A ( 0 ,3 ,4 ) e B ( 2 ,0 ,- 2 ) .
Nos Problemas 25 a 30 , obter uma equação geral do plano:30) Que contenha o ponto A ( 1 ,- 2 ,1 ) e o eixo x .
Determine as coordenadas do vetor diretor da reta de intersecção dos planos x + y + z = 1 e x + z = 0
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano. 3 x + y + 2 z = 6
Dados A = 3 , - 1 , 2eB = ( 4 , - 2 , - 1 ) , determine uma equação cartesiana do plano que passa por A e é perpendicular ao segmento