Enunciado

A reta s é paralela a r : x + y + z = 2 y = 12 - x - 4 z e intercepta os planos coordenados O x y e O x z , respectivamente, nos pontos A e B . O segmento A B mede 4 6 (SO) e A tem abscissa e ordenada iguais. Obtenha uma equação vetorial de s .

Passo 1

Temos o sistema:

x + y + z = 2 y 12 - x - 4 z = 2 y

Fazendo y = 0 , temos - 4 ,   0 ,   4 e, fazendo x = 0 , temos 0 ,   2 ,   2 ,

Portanto, o vetor diretor de s é paralelo ao vetor

0 ,   2 ,   2 - - 4,0 , 4 = 4 ,   2 ,   - 2 = 2 2 ,   1 ,   - 1

Passo 2

Seja então

s : X = A + k 2 ,   1 ,   - 1 = x 0 ,   x 0 ,   0 + k 2 ,   1 ,   - 1

onde A = x 0 ,   x 0 ,   0 (o enunciado informa que A possui abscissa e ordenada iguais.

Passo 3

O ponto B será o ponto da reta s que possui y = 0 :

B = x 0 + 2 k ,   x 0 + k ,   - k ⟹ y = 0 ∴ x 0 + k = 0 ∴ k = - x 0

Portanto, temos

B = - x 0 ,   0 ,   x 0

Passo 4

Por fim, sabemos que

d A ,   B = 4 6 ⟹ 2 x 0 2 + x 0 2 + x 0 2 = 4 6 ∴ x 0 6 = 4 6

Portanto, x 0 = 4 ou x 0 = - 4 .

Assim, segue que a equação vetorial será:

s : X = 4 ,   4 ,   0 + k 2 ,   1 ,   - 1     o u     s : X = - 4 ,   - 4 ,   0 + k 2 ,   1 ,   - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontrar as equações paramétricas da reta de interseção da reta r com o plano π . π 1 : 2 x + y - 4 = 0 e π 2 : z = 5
Sejam a reta r e o plano π dado por r : y = 2 x - 3 z = - x + 2 e π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0 Determinar:O ponto de interseção de r com o plano x O z ;
Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π r : y = 2 x - 1 z = - x + m e π : 5 x - n y + z + 2 = 0
Estabelecer equação reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos: π 1 : x + y - z + 2 = 0 e π 2 : x + y + 2 z - 1 = 0
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π . r : x = 4 + k y = 3 + 2 k z = - 2 - 3 k e π : x = 2 + h + 2 t y = - 3 - h - t z = 1 + 3 h - 3 t