Enunciado

Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar os elementos e representar graficamente as equações:

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 45 = 0

Passo 1

Para essa questão, temos uma série de elementos que precisamos descobrir:

  • Precisamos descobrir qual cônica essa equação representa;
  • Determinar os pontos de interesse como Centro, Focos e Vértices;
  • Assíntotas caso existam.

Depois de descobertos esses fatores, plotaremos o gráfico.

Passo 2

Para descobrir qual cônica a equação 9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 45 = 0 representa. Para isso, vamos completar quadrados.

9 x 2 - 4 y 2 - 54 x + 45 = 0

9 x 2 - 54 x - 4 y 2 + 45 = 0

9 ( x 2 - 6 x ) - 4 y 2 + 45 = 0

9 [ x - 3 2 - 9 ] - 4 y 2 + 45 = 0

9 x - 3 2 - 81 - 4 y 2 + 45 = 0

9 x - 3 2 - 4 y 2 - 36 = 0

9 x - 3 2 - 4 y 2 = 36

Passo 3

Completados os quadrados, vamos dividir a equação 9 x - 3 2 - 4 y 2 = 36 por 36 para termos o 1 do lado direito da equação.

9 x - 3 2 - 4 y 2 = 36

9 x - 3 2 36 - 4 y 2 36 = 36 36

x - 3 2 4 - y 2 9 = 1

Portanto, a cônica que estamos trabalhando se trata de uma equação no modelo:

x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1

Que é a equação de um hipérbole com eixo paralelo ao eixo x com seus parâmetros a e b dados:

a 2 = 4 b 2 = 9         →         a = 2 b = 3

E seu centro C x c ,   y c = ( 3 ,   0 )

Passo 4

Dada a equação x - 3 2 4 - y 2 9 = 1 , vamos começar a extrair os pontos de interesse usando os parâmetros que encontramos no Passo 3.

Para acharmos o parâmetro c , vamos usar da equação c 2 = a 2 + b 2

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 2 2 + 3 2

c 2 = 4 + 9

c 2 = 13

c = 13

Passo 5

Para acharmos os vértices A 1 e A 2 , vamos usar das relações A 1 = ( x c - a ,   y c ) e

A 2 = ( x c + a ,   y c ) . Assim:

A 1 = ( x c - a ,   y c )

A 1 = ( 3 - 2 ,   0 )

A 1 = ( 1 ,   0 )

Então:

A 2 = ( x c + a ,   y c )

A 2 = ( 3 + 2 ,   0 )

A 2 = ( 5 ,   0 )

Passo 6

Os Focos são dados pelas relações F 1 = ( x c + c , y c ) e F 2 = ( x c - c , y c ) . Então:

F 1 = x c + c , y c

F 1 = ( 3 + 13 , 0 )

Logo,

F 2 = ( x c - c , y c )

F 2 = ( 3 - 13 , 0 )

Passo 7

Com os pontos encontrados, vamos achar as assíntotas. Elas são dadas na forma:

y = y c ± b a ( x - x c )

Assim:

y 1 = 3 2 x - 3

y 2 = - 3 2 x - 3

Passo 8

Com os pontos encontrados e as assíntotas calculadas, vamos plotar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra.

Passo 9

Ainda temos que escrever a equação da cônica da forma com eixos transladados.

Para isso, vamos manter os parâmetros a e b e escrever na forma: x ' 2 a 2 - y ' 2 b 2 = 1

  x ' 2 a 2 - y ' 2 b 2 = 1

x ' 2 4 - y ' 2 9 = 1

Passo 10

Para finalizar, vamos escrever os eixos real e imaginário dessa transalação.

O eixo real é dado por 2 a . Logo,

E i x o   R e a l : 2 ∙ 2

E i x o   R e a l : 4

O eixo imaginário é dado por 2 b . Logo,

E i x o   I m a g i n á r i o : 2 ∙ b

E i x o   I m a g i n á r i o : 2 ∙ 3

E i x o   I m a g i n á r i o : 6

Pronto! Era isso que a questão queria!

Resposta

Hipérbole, x ' 2 4 - y ' 2 9 = 1 , eixo real 4 , eixo imaginário 6 , F 1 ( 3 + 13 , 0 ) e F 2 3 - 13 , 0

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