Enunciado

Sejam: e a excentricidade de uma curva C (elipse ou hipérbole) de parâmetros geométricos a , b , c ; F é um foco; e r a diretriz associada a F . Mostre que, se P pertence a C , então d P , F = e ⋅ d P , r .

Passo 1

Consideremos a curva C de equação

x 2 p + y 2 q = 1

Note que tal curva pode representar tanto uma elipse quanto uma hipérbole:

  • se for uma elipse, então p = a 2 e q = b 2 ;
  • se for uma hipérbole, então p = a 2 e q = - b 2 .

Da informação acima, vemos que a = p e b = q .

Suponha que um dos focos de C seja F = c ,   0 (com c > 0 ). A reta diretriz associada a tal foco será x = a 2 / c = p / c .

Passo 2

A distância de um ponto P = x 0 , y 0 ∈ C até a diretriz será:

d P , r = x 0 - p c

Passo 3

A distância de P até o foco será:

d P , F = x P - x F 2 + y P - y F 2 = x 0 - c 2 + y 0 2

Passo 4

Como P ∈ C , segue que

y 0 2 = q - q p x 0 2

Assim,

d P ,   F = x 0 2 - 2 x 0 c + c 2 + q - q p x 0 2 = x 0 2 1 - q p - 2 x 0 c + c 2 + q

Como

a 2 = b 2 + c 2 ⟹ p = q + c 2 ∴ p - q = c 2

E

e = c a ⟹ c = e p

Segue

d P , F = x 0 2 c 2 p - 2 x 0 c + p = c 2 p x 0 2 - 2 x 0 p c + p 2 c 2 = c p x 0 2 - 2 x 0 p c + p c 2

∴ d P ,   F = e   x 0 - p c

que é o que queríamos provar!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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