Enunciado

No paralelepípedo retângulo A B C D E F G H mostrado na Figura 11-9, P é o centro da face A D H E , e M e N são, respectivamente, os pontos médios das arestas A B e B C . Mostre que D F é perpendicular ao plano P M N se, e somente se, a face A B C D é uma quadrado de diagonal congruente à aresta A E .

Passo 1

Nesse tipo de problema a primeira coisa que você deve fazer é definir uma base:

Escolhi a base i → ,   j → ,   k → , ortonormal e positiva, com os vetores mostrados na figura. Vamos supor que o lado A B mede a , A D mede b e A E mede c . Assim,

A B → = a i → ,                     A D → = b j →                 e               A E → = c k →

Para que D F seja perpendicular ao plano P M N , devemos ter que

P M → ∧ P N → = λ   D F →

Isso deve ocorrer por o produto vetorial P M → ∧ P N → é perpendicular ao plano e, para que   D F → também seja, eles devem ser paralelos! Assim, o primeiro passo é escrever as coordenadas de cada um desses vetores na base escolhida!

Passo 2

Note que

P M → = P D → + D A → + A M →

Mas sabemos que

A M → = 1 2   A B →

Assim,

P M → = - D P → - A D → + 1 2   A B →

Agora vamos olhar para   D P → :

D P → = 1 2   D E → = 1 2   D A → + A E → = 1 2   A E → - A D →

Assim,

P M → = - 1 2 A E → - A D → - A D → + 1 2   A B → = 1 2   A B → - 1 2   A D → - 1 2   A E → = a 2 ,   - b 2 ,   - c 2

Analogamente,

P N → = P M → + M B → + B N →

Mas

M B → = 1 2   A B →           e           B N → = 1 2   B C → = 1 2   A D →

Assim,

P N → = 1 2   A B → - 1 2   A D → - 1 2   A E → + 1 2   A B → + 1 2   A D → = A B → - 1 2   A E → = a ,   0 ,   - c 2

Já o vetor   D F → :

D F → = D A → + A E → + E F → = - A D → + A E → + A B → = a ,   - b ,   c

Passo 3

Fazendo o produto vetorial:

P M → ∧ P N → = i → j → k → a 2 - b 2 - c 2 a 0 - c 2 = 1 4   i → j → k → a - b - c 2 a 0 - c = 1 4   b c ,   - a c ,   2 a b

Como só estamos interessados na direção do vetor, vamos esquecer o 1 / 4 , de modo que a equação que temos que resolver é

b c ,   - a c ,   2 a b = λ   ( a ,   - b ,   c )

Assim,

b c = λ a a c = λ b 2 a b = λ c

Para demonstrar o que a questão pediu, temos que obter duas coisas:

a = b               e             a 2 + b 2 = 2 a 2 = c 2

Isolando λ na primeira equação:

λ = b c a

Substituindo na segunda:

a c = b c a ⋅ b ⇒ a 2 = b 2

Fazendo o mesmo na terceira:

2 a b = b c a ⋅ c ⇒ c 2 = 2 a 2

Como a > 0 , b > 0 e c > 0 por hipótese, temos que

a = b           e           c 2 = 2 a 2 = a 2 + b 2

Assim, provamos o que o exercício pedia: a face A B C D é uma quadrado ( a = b ) e sua diagonal é congruente à aresta A E ( c 2 = a 2 + b 2 = 2 a 2 )!

Resposta

Demonstração.

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