Enunciado

Mostre que

(a xx b) * b = 0

Para qualquer vetor a e b em V_3 .

Passo 1

Vamos definir o nosso vetor a como sendo

a = ( a_1 , a_2 , a_3 )

E nosso vetor b como sendo

b = ( b_1 , b_2 , b_3 )

Assim,

a xx b = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = |[[a_2,a_3],[b_2,b_3]]| i - |[[a_1,a_3],[b_1,b_3]]| j + |[[a_1,a_2],[b_1,b_2]]| k

a xx b = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = (a_2 b_3 - a_3 b_2) i - ( a_1 b_3 - a_3 b_1 ) j + ( a_1 b_2 - a_2 b_1 ) k

a xx b = (a_2 b_3 - a_3 b_2 , - a_1 b_3 + a_3 b_1 , a_1 b_2 - a_2 b_1)

Passo 2

Agora fazendo o produto escalar disso com o vetor b :

(a xx b) * b = (a_2 b_3 - a_3 b_2 , - a_1 b_3 + a_3 b_1 , a_1 b_2 - a_2 b_1) * (b_1 , b_2 , b_3)

(a xx b) * b = a_2 b_3 b_1 - a_3 b_2 b_1 - a_1 b_3 b_2 + a_3 b_1 b_2 + a_1 b_2 b_3 - a_2 b_1 b_3

(a xx b) * b = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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