Enunciado

30. No passo 3 da prova do Teorema 6.3.5, foi afirmado que “a independência linear de { u 1 , u 2 , … ,   u n } garante que v 3 ≠ 0 ”. Prove essa afirmação.

Passo 1

Vamos começar considerando:

v 3 = 0

E usando a fórmula: (que, inclusive, está errada lá no meio do capítulo, mas é só um detalhe)

v 3 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

Então:

0 = u 3 - u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 - u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

u 3 = u 3 ⋅ v 1 v 1 2 v 1 + u 3 ⋅ v 2 v 2 2 v 2

E isso indicaria que u 3 é combinação linear de u 1 e u 2 , contradizendo a independência linear da base.

Resposta

E isso indicaria que u 3 é combinação linear de u 1 e u 2 , contradizendo a independência linear da base.

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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
33. (Requer Cálculo) Suponha que P 2 tenha o produto interno p , q = ∫ 0 1 p x q x d x Aplique o processo de Gram-Schmidt para transformar a base canônica S = { 1 , x , x 2 } numa base ortonormal.
34. Encontre vetores x e y em R 2 que sejam ortonormais em relação ao produto interno u , v = 3 u 1 v 1 + 2 u 2 v 2 mas não em relação ao produto interno euclidiano.
Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de R 4 que tem como base 1 ,1 ,- 1 ,0 , 0 ,2 ,0 ,1 , - 1 ,0 ,0 ,1 .