Enunciado

No planeta Paraboleus, uma arma parabólica circunscreve uma região plana para ataca-la com raios laser. Em cada ponto da parábola o raio é disparado na direção da reta normal, mas por um defeito na fabricação, nenhum raio é disparado no vértice. Existe algum lugar seguro na região?

Passo 1

Tomemos a parábola y 2 = 4 p x . Vamos considerar um ponto genérico h ,   k da parábola:

k 2 = 4 p h

A seguir, vamos calcular o coeficiente angular da reta tangente à parábola no ponto h ,   k :

y 2 = 4 p x ⟹ 2 y d y d x = 4 p ∴ d y d x = 2 p y ⟹ m = 2 p k

De forma que o coeficiente angular da reta normal è - k / 2 p .

Passo 2

A equação da reta normal será:

y - k = - k 2 p x - h ∴ y = - k 2 p x + k h 2 p + k

A reta intercepta o eixo O x em

0 = - k 2 p x + k h 2 p + k ⟹ k 2 p x = k h 2 p + k ⟹ x = h + 2 p

Passo 3

Quando fazemos h → 0 , vemos que x → 2 p . Logo, todo ponto do eixo da parábola, localizado entre 0 ≤ x < 2 p não será atingido!

Resposta

Sim, há uma região segura, localizada entre 0 ≤ x < 2 p .

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Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.30)y = x 2 - 4 x + 2
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.29)y 2 - 12 x - 12 = 0
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.32)y = 4 x - x 2
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.34)6 y = x 2 - 8 x + 14
Em cada um dos problemas 19 a 34, determinar o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico.33)8 x = 10 - 6 y + y 2