Enunciado

No plano, uma rotação anti-horária de 45 ° é seguida por uma dilatação de 2 . Ache a aplicação A que representa esta transformação no plano.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Podemos representar uma rotação R no plano por:

x ' y ' = cos ⁡ θ sin ⁡ θ       - sin ⁡ θ cos ⁡ θ x y

Resolvendo a multiplicação podemos escrever como uma transformação:

R x , y = x cos ⁡ θ - y sin ⁡ θ ,   x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ

Aplicando em θ = 45 ° , temos:

R x , y = x 2 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 2 2

Passo 2

Uma dilatação D de 2 equivale a uma multiplicação do vetor x , y por 2 , assim D x , y = 2 x , y .

A aplicação é dada pela dilatação da transformação R , logo:

A x 2 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 2 2 = 2 x 2 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 2 2

A x 2 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 2 2 = 2 x 2 - 2 y 2 , 2 x 2 + 2 y 2

A x 2 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 2 2 = x - y , x + y

Resposta

A x 2 2 - y 2 2 , x 2 2 + y 2 2 = x - y , x + y

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Sejam α = 0,2 , ( 2 , - 1 ) e β = 1,1 , 0 , 0,0 , - 1 , 1,0 , 1 bases de R 2 e R 3 . S β α = 2 4 00 0 - 4 Dê a expressão para S ( x , y ) .
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Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: f : R 2 → R 2 ( x , y ) → x + y , x - y g : R 2 → R ( x , y ) → x y h : M 2 → R a cb d → det ⁡ a cb d k : P 2 → P 3 a x 2 + b x + c → a x