Enunciado

Identifique a figura e ache sua posição, se sua equação é:

4 x y + 3 y 2 + 2 5 x + 4 5 y = 0

Passo 1

Nessa equação, nós só temos termos em x e em y , então a figura vai ser uma cônica! O que a gente tem que fazer aqui é usar o teorema 11.4 . 7 para analisar qual tipo de figura que é. Bora então. Primeiro a gente identifica os coeficientes:

4 x y + 3 y 2 + 2 5 x + 4 5 y = 0

A = 0 ,   B = 4 ,   C = 3 ,   D = 2 5 ,   E = 4 5 ,   F = 0

Calculando o discriminante:

B 2 - 4 A C = ( 4 ) 2 - 4 0 3 = 16

Como o discriminante deu positivo, a equação representa uma hipérbole!

Passo 2

Agora vamos fazer o processo que ele ensinou pra gente pra determinarmos a posição. Pra isso vamos escrever a equação na forma matricial:

x y 0 2 2 3 x y + 2 5 4 5 x y = 0

Precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz que acompanha os termos de segundo grau! Pra isso vamos na definição:

M = 0 2 2 3

det ⁡ M - λ I = 0 - λ 2 2 3 - λ = 3 - λ - λ - 4

det ⁡ M - λ I = λ 2 - 3 λ - 4

Resolvendo essa equação, vamos encontrar λ = 4   ou λ = - 1 . Vamos substituir pra encontrar os autovetores!

λ = - 1 :   0 + 1 2 2 3 + 1 x y = 0 0 → x + 2 y = 0 → x = - 2 y

Então o vetor ( - 2,1 ) é autovetor associado a λ = - 1 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 1 = - 2 5 ,   1 5 .

λ = 4 :   0 - 4 2 2 3 - 4 x y → - 4 x + 2 y = 0 → y = - 2 x

Então o vetor ( 1 ,   - 2 ) é autovetor associado a λ = 4 , e, dividindo pelo seu módulo para ortonormalizar, vamos obter v 2 = 1 5 ,   - 2 5 .

Passo 3

O próximo passo é substituir na equação matricial!

x ' y ' - 1 0 0 4 x ' y ' + 2 5 4 5 - 2 5 1 5 1 5 - 2 5 x ' y ' = 0

Desenvolvendo:

- x ' 2 + 4 y ' 2 + 0 - 6 x ' y ' = 0

- x ' 2 + 4 y ' 2 - 6 y ' = 0

E completando os quadrados:

- x ' 2 + 4 y ' - 3 2 2 = 9

Essa equação representa a cônica em relação ao nosso novo referencial ( x ' ,   y ' ) , que tinha como centro o ponto 0 , 3 2 , e eixos na direção de - 2 5 , 1 5 e 1 5 ,   - 2 5 .

Resposta

Hipérbole de equação:

- x ' 2 + 4 y ' - 3 2 2 = 9

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