Enunciado

O ponto A ( 1 , - 2,3 ) é um dos vértices de um paralelepípedo, e os três vértices adjacentes são B 2 , - 1 , - 4 ,   C ( 0,2 , 0 ) e D ( - 1 , m , 1 ) . Determinar o valor de m para que o volume desse paralelepípedo seja igual a 20   u . v . (unidades de volume)

Passo 1

E aí, tudo joia?

O volume do paralelepípedo é calculado pelo módulo do produto misto entre os vetores.

Aqui a gente tem os pontos, precisamos então calcular os vetores pra começar...

Vamos fazer A B → ,   A C →   e   A D → ...

Passo 2

Temos:

A B → = ( 1,1 , - 7 )

A C → = ( - 1,4 , - 3 )

A D → = ( - 2 , m + 2 , - 2 )

Agora a gente vai fazer o produto misto entre esses três vetores...

Passo 3

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t 1 1 - 7 - 1 4 - 3 - 2 m + 2 - 2 = 1 4 - 3 m + 2 - 2 - 1 - 1 - 3 - 2 - 2 - 7 - 1 4 - 2 m + 2

= 1 - 8 + 3 m + 6 - 1 2 - 6 - 7 ( - m - 2 + 8 )

= - 8 + 3 m + 6 + 4 + 7 m + 14 - 56

= 10 m - 40

A gente quer que o volume seja 20   então...

10 m - 40 = 20

Daí temos duas possibilidades:

10 m - 40 = 20 → 10 m = 60 → m = 6

10 m - 40 = - 20 → 10 m = 20 → m = 2

Prontinho! Esses são os valores de m para que o volume seja 20 😊

Resposta

m = 2   o u   m = 6

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