Enunciado

Se os pontos A e B são equidistantes da origem e os segmentos orientados OA e BC são equipolentes, prove que OC e AB são perpendiculares.

Passo 1

Tomando os pontos A =(a,b,c) e B = (m,n,k), se eles são equidistantes da origem, então a seguinte relação é válida:

d O , A = d ( O , B )

a 2 + b 2 + c 2 = m 2 + n 2 + k 2

a 2 + b 2 + c 2 = m 2 + n 2 + k 2

Tomando C = (p,q,r), se OA e BC são equipolentes, então OB e AC tem o mesmo ponto médio.

m = p - a ,       n = q - b ,       k = r - c

Então para que OC e AB sejam perpendiculares, a seguinte relação deve ser válida:

p m - a + q n - b + r k - c = 0

a + m m - a + b + n n - b + c + k k - c = 0

- a 2 + m 2 - b 2 + n 2 - c 2 + k 2 = 0

Essa é uma relação verdadeira visto o quesito da equidistância.

Resposta

Demonstração.

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No triângulo ABC (Figura 1.33) seja A B → = a → e A C → = b → . Construir um representante de cada um dos vetoresd) a → + 1 2 b →
No triângulo ABC (Figura 1.33) seja A B → = a → e A C → = b → . Construir um representante de cada um dos vetorese) 2 a → - 1 2 b →
Dados os vetores a → , b → e c → (Figura 1.34), apresentar graficamente um representante do vetor x → tal que x → = 4 a → - 2 b → - c →
Dados os vetores a → , b → e c → (Figura 1.34), apresentar graficamente um representante do vetor x → tal quec) a → + c → + x → = 2 b →
Dados os vetores a → , b → e c → (Figura 1.34), apresentar graficamente um representante do vetor x → tal queb) a → + b → + c → + x → = 0