Enunciado

Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:

1 2 3 0 2 3 1 2 4

Passo 1

Galera, para encontrar a inversa de uma matriz faremos o seguinte:

Multiplicaremos nossa matriz por incógnitas e igualamos a matriz identidade. Assim:

1 2 3 0 2 3 1 2 4 ⋅ a b c d e f g h i = 100 010 001

Vamos realizar esse produto. Para multiplicar matrizes, é só fazer as linhas da matriz 1, vezes a coluna da matriz 2.

a + 2 d + 3 g b + 2 e + 3 h c + 2 f + 3 i 2 d + 3 g 2 e + 3 h 2 f + 3 i a + 2 d + 4 g b + 2 e + 4 h c + 2 f + 4 i = 100 010 001

Vamos igualar as matrizes, primeiro termo com primeiro, segundo termo com o segundo e assim por diante.

a + 2 d + 3 g = 1

b + 2 e + 3 h = 0

c + 2 f + 3 i = 0

2 d + 3 g = 0

2 e + 3 h = 1

2 f + 3 i = 0

a + 2 d + 4 g = 0

b + 2 e + 4 h = 0

c + 2 f + 4 i = 1

Passo 2

O tamanho assusta! Mas é tranquilo, olhas essas duas equações.

a + 2 d + 4 g = 0

a + 2 d + 3 g = 1

Subtraindo elas temos

g = - 1

Para essas duas

b + 2 e + 4 h = 0

b + 2 e + 3 h = 0

h = 0

Então

2 e + 3 h = 1

e = 1 / 2

Vamos obter “b”

b + 2 e + 3 h = 0

b + 2 ⋅ 1 2 + 3 ⋅ 0 = 0

b = - 1

Vamos pegar mais algumas expressões

c + 2 f + 4 i = 1

c + 2 f + 3 i = 0

Ao subtrair temos

i = 1

Falta pouco!

2 f + 3 i = 0

2 f + 3 ⋅ 1 = 0

f = - 3 2

Já temos os valores de “f.” e “i.”

c + 2 f + 3 i = 0

c + 2 - 3 2 + 3 ⋅ 1 = 0

c = 0

Agora vamos substituir g por -1.

2 d + 3 g = 0

d = 3 2

E por fim

a + 2 d + 4 g = 0

a + 2 3 / 2 + 4 - 1 = 0

a = 1

Passo 3

Vamos organizar o que conseguimos!

a b c d e f g h i = 1 - 1 0 3 / 2 1 / 2 - 3 / 2 - 1 0 1

E a nossa matriz inversa é

a + 2 d + 3 g b + 2 e + 3 h c + 2 f + 3 i 2 d + 3 g 2 e + 3 h 2 f + 3 i a + 2 d + 4 g b + 2 e + 4 h c + 2 f + 4 i = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Resposta

1 0 0 0 1 0 0 0 1

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A = 1 0 1 1 1 0 0 1 1
A = 0 0 1 1 1 0 - 1 1 1
- x 1 + 4 x 2 + x 3 = b 1 x 1 + 9 x 2 - 2 x 3 = b 2 6 x 1 + 4 x 2 - 8 x 3 = b 3 b 1 = 0 , b 2 = 1 , b 3 = 0 b 1 = - 3 , b 2 = 4 , b 3 = - 5
- x - 2 y - 3 z = 0 w + x + 4 y + 4 z = 7 w + 3 x + 7 y + 9 z = 4 - w - 2 x - 4 y - 6 z = 6
4 x 1 - 3 x 2 = - 3 2 x 1 - 5 x 2 = 9