Enunciado

32. Mostre que os autovalores de uma matriz anti-hermitiana são ou nulos ou imaginários puros.

Passo 1

Bem... já foi feito no exercício 28 que os termos da diagonal principa de uma matriz anti-hermitiana ou são zero ou são imaginários puros.

Vamos separar em dois casos... primeiro o caso em que seja zero:

A = 0 a 12 + b 12 i a 21 + b 21 i 0 ⋯ a 1 n + b 1 n i a 2 n + b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 + b 31 i a n 2 + b n 2 i ⋯ 0

E a matriz conjugada:

A ¯ = 0 a 12 - b 12 i a 21 - b 21 i 0 ⋯ a 1 n - b 1 n i a 2 n - b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 - b 31 i a n 2 - b n 2 i ⋯ 0

A matriz conjugada transposta:

A ¯ T = 0 a 21 - b 21 i a 12 - b 12 i 0 ⋯ a n 1 - b 31 i a n 2 - b n 2 i ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n - b 1 n i a 2 n - b 2 n i ⋯ 0

O polinômio característico fica:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 1 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 - 0 a 12 + b 12 i a 21 + b 21 i 0 ⋯ a 1 n + b 1 n i a 2 n + b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 + b 31 i a n 2 + b n 2 i ⋯ 0 = 0

Passo 2

Vamos pegar uma matriz mais simples pra gente ver se tem algo fácil de perceber pra depois generalizar:

A = 0 a 12 + b 12 i a 21 + b 21 i 0

E a sua conjugada transposta:

A ¯ T = 0 a 21 - b 21 i a 12 - b 12 i 0

Pra ser anti-hermitiana: (a conjugada transposta dela tem que ser o negativo da matriz original)

a 21 + b 21 i = - a 12 - b 12 i a 12 + b 12 i = - a 21 - b 21 i

a 21 + b 21 i = - a 12 + b 12 i a 12 + b 12 i = - a 21 + b 21 i

Subtraindo uma da outra:

a 21 + b 21 i - a 12 + b 12 i = - a 12 + b 12 i - - a 21 + b 21 i

a 21 + b 21 i - a 12 - b 12 i = - a 12 + b 12 i + a 21 - b 21 i

b 12 i = b 21 i

b 21 = b 1 2

Agora somando:

a 21 + b 21 i + a 12 + b 12 i = - a 12 + b 12 i - a 21 + b 21 i

a 21 = - a 12

Passo 3

Sendo A , então:

A = 0 a 12 + b 12 i - a 12 + b 12 i 0

O polinômio característico:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 1 0 0 1 - 0 a 12 + b 12 i - a 12 + b 12 i 0 = 0

det ⁡ λ - a 12 - b 12 i a 12 - b 12 i λ = 0

λ 2 - a 12 - b 12 i - a 12 - b 12 i = 0

λ 2 + a 12 - b 12 i a 12 + b 12 i = 0

λ 2 + a 12 2 - b 12 2 i 2 = 0

λ 2 + a 12 2 + b 12 2 = 0

λ 2 = - a 12 2 + b 12 2

λ = - a 12 2 + b 12 2

Então como a 12 2 e b 12 2 são sempre positivos ou iguais a zero, então a 12 2 + b 12 2 também vai ser sempre positivo. E, consequentemente, - a 12 2 + b 12 2 vai ser sempre negativo. Portanto... λ vai ser zero ou vai ser imaginário puro.

Passo 4

Para o outro caso, que é quando os termos da diagonal principal são imarinários puros:

A = b 11 i a 12 + b 12 i a 21 + b 21 i b 22 i ⋯ a 1 n + b 1 n i a 2 n + b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 + b 31 i a n 2 + b n 2 i ⋯ b n n i

E a matriz conjugada:

A ¯ = - b 11 i a 12 - b 12 i a 21 - b 21 i - b 22 i ⋯ a 1 n - b 1 n i a 2 n - b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 - b 31 i a n 2 - b n 2 i ⋯ - b n n i

A matriz conjugada transposta:

A ¯ T = - b 11 i a 21 - b 21 i a 12 - b 12 i - b 22 i ⋯ a n 1 - b 31 i a n 2 - b n 2 i ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n - b 1 n i a 2 n - b 2 n i ⋯ - b n n i

O polinômio característico fica:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 1 0 0 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 - - b 11 i a 12 + b 12 i a 21 + b 21 i - b 22 i ⋯ a 1 n + b 1 n i a 2 n + b 2 n i ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 + b 31 i a n 2 + b n 2 i ⋯ - b n n i = 0

Passo 5

Vamos pegar uma matriz mais simples pra gente ver se tem algo fácil de perceber pra depois generalizar:

A = b 11 i a 12 + b 12 i a 21 + b 21 i b 22 i

E a sua conjugada transposta:

A ¯ T = - b 11 i a 21 - b 21 i a 12 - b 12 i - b 22 i

Pra ser anti-hermitiana: (a conjugada transposta dela tem que ser o negativo da matriz original)

a 21 + b 21 i = - a 12 - b 12 i a 12 + b 12 i = - a 21 - b 21 i

a 21 + b 21 i = - a 12 + b 12 i a 12 + b 12 i = - a 21 + b 21 i

Subtraindo uma da outra:

a 21 + b 21 i - a 12 + b 12 i = - a 12 + b 12 i - - a 21 + b 21 i

a 21 + b 21 i - a 12 - b 12 i = - a 12 + b 12 i + a 21 - b 21 i

b 12 i = b 21 i

b 21 = b 12

Agora somando:

a 21 + b 21 i + a 12 + b 12 i = - a 12 + b 12 i - a 21 + b 21 i

a 21 = - a 12

Passo 6

Sendo A , então:

A = b 11 i a 12 + b 12 i - a 12 + b 12 i b 22 i

O polinômio característico:

det ⁡ λ I - A = 0

det ⁡ λ 1 0 0 1 - b 11 i a 12 + b 12 i - a 12 + b 12 i b 22 i = 0

det ⁡ λ - b 11 i - a 12 - b 12 i a 12 - b 12 i λ - b 22 i = 0

λ - b 11 i λ - b 22 i - a 12 - b 12 i - a 12 - b 12 i = 0

λ 2 - λ b 11 i - λ b 22 i + b 11 b 22 i 2 + a 12 - b 12 i a 12 + b 12 i = 0

λ 2 - λ b 11 i + b 22 i - b 11 b 22 + a 12 - b 12 i a 12 + b 12 i = 0

λ 2 - λ b 11 i + b 22 i - b 11 b 22 + a 12 2 - b 12 2 i 2 = 0

λ 2 - λ b 11 i + b 22 i - b 11 b 22 + a 12 2 + b 12 2 = 0

λ = b 11 i - b 22 i ± b 11 i + b 22 i 2 - 4 - b 11 b 22 + a 12 2 + b 12 2 2

λ = b 11 i - b 22 i ± - b 11 + b 22 2 - 4 - b 11 b 22 + a 12 2 + b 12 2 2

λ = b 11 i - b 22 i ± - b 11 2 - 2 b 11 b 22 - b 22 2 + 4 b 11 b 22 - 4 a 12 2 + b 12 2 2

λ = b 11 i - b 22 i ± - b 11 2 + 2 b 11 b 22 - b 22 2 - 4 a 12 2 + b 12 2 2

λ = b 11 i - b 22 i ± - b 11 2 - 2 b 11 b 22 + b 22 2 - 4 a 12 2 + b 12 2 2

λ = b 11 i - b 22 i ± - b 11 - b 22 2 - 4 a 12 2 + b 12 2 2

Vamos analiser o que tem dentro da raiz:

Tudo que está elevado ao quadrado vai ser sempre positivo ou zero... Então vai ser um número imaginário mesmo...

Então podemos concluir que ou é igual a zero ou é imaginário puro.

Resposta

Autovalores iguais a zero ou imaginário puro.

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