Enunciado

O problema apresenta um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definida. Verificar se é um espaço vetorial, e se não for, cite os axiomas que não se verificam.

R 2 ,   a , b + c , d = ( a , b )

α a , b = ( α a ,   α b )

Passo 1

Pra gente nunca se perder, começa listando os axiomas do espaço vetorial.

A 1 )   u + v + w = u + v + w

A 2 )   u + v = v + u

A 3 )   u + 0 = u

A 4 )   ∀ u ,   ∃ - u ,   u + - u = 0

M 1 )   α β u = α ( β u )

M 2 )   α + β u = α u + β u

M 3 )   α u + v = α u + α v

M 4 )   1 u = u

Passo 2

Beleza, agora a gente tem que ver se o nosso conjunto atende a todos eles. A segunda propriedade que ele deu, α a , b = ( α a ,   α b ) , parece bem certinha, né? É só uma multiplicação por escalar, então provavelmente os quatro axiomas de multiplicação funcionam. O que chama a atenção é essa primeira propriedade...

a , b + c , d = ( a , b )

Ela é bem esquisita! Então vamos direto procurar um furo nos axiomas da soma!

Passo 3

Bora testar os quatro primeiros axiomas pra ver se tem algum problema neles. Vamos pegar três elementos:

u = a , b

v = c , d

w = e , f

A 1 ) Fazendo primeiro o lado esquerdo:

u + v + w = a , b + c , d + e , f

u + v + w = a , b + e , f

u + v + w = ( a , b )

E agora o lado direito:

u + v + w = a , b + c , d + e , f

u + v + w = a , b + c , d

u + v + w = ( a , b )

Show, os dois deram iguaizinhos, então a primeira vale!

A 2 ) Pro lado esquerdo:

u + v = a , b + ( c , d )

u + v = ( a , b )

E pro lado direito:

v + u = c , d + a , b

v + u = ( c , d )

Aí ó, deu diferente! Já achamos um furo nos axiomas. Já podemos concluir que o conjunto não é um espaço vetorial. Vamos ver as outras de soma.

Passo 4

Vamos ver o terceiro e o quarto axiomas da soma agora.

A 3 )

u + 0 = a , b + ( 0 ,   0 )

u + 0 = a , b

u + 0 = u

Esse funcionou legal!

A 4 )

u = a , b → - u = - a , - b

u + - u = a , b + - a , - b

u + - u = ( a , b )

Opa, não deu zero, então esse também não serve! Só reforçamos o que a gente já sabia: esse conjunto não é espaço vetorial.

Resposta

Não é espaço vetorial. Fura o axioma A 2 e A 4 .

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