Enunciado

Nos problemas 7 - 11 , escrever uma equação geral e um sistema de equações paramétricas do plano determinado pelos pontos:

9) A 2,0 , - 1 , B - 2,6 , 3 ,   C ( 0,3 , 4 ) .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né?Sendo assim, vou te relembrar do eu será preciso para cada equação do plano.

Para escrever um sistema de equações paramétricas do plano precisamos de dois vetores diretores do plano e de um ponto. O sistema de equações é:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Onde a 1 , b 1 , c 1 e a 2 , b 2 , c 2 são os vetores e x 0 , y 0 , z 0 é o ponto.

Já para determinar uma equação geral precisamos de um ponto que pertença ao plano e de um vetor que seja ortogonal. A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia para resolver essa questão é a seguinte:

  • A partir dos pontos, determinar dois vetores diretores do plano e escolhendo um dos pontos, escrever as equações paramétricas do plano;
  • Depois, com os mesmos dois vetores diretores, fazer um produto vetorial entre eles, e assim determinar um vetor ortogonal ao plano, que é necessário pra gente escrever a equação geral. E o ponto? Pode ser qualquer um dos três que foram dados =)

Beleza? Então a partir de agora, vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Dos pontos A 2 , 0 , - 1 , B - 2,6 , 3 ,   C ( 0,3 , 4 ) , vamos encontrar dois vetores: um indo de A até B e outro indo de A até C :

A B - = B - A = - 2,6 , 3 - 2,0 , - 1 = ( - 4,6 , 4 )

A C - = C - A = 0,3 , 4 - 2,0 , - 1 = ( - 2,3 , 5 )

Tranquilo?

Passo 3

E agora escolhendo o ponto A ( 2 , 0 , - 1 ) e com os dois vetores do passo anterior, já podemos escrever as equações paramétricas:

x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t

Agora é só substituir:

x = 2 - 4 h - 2 t y = + 6 h + 3 t z = - 1 + 4 h + 5 t

Beleza? Agora vamos para a equação geral?

Passo 4

Bom, vamos resgatar os dois vetores que achamos no passo 2 :

A B - = ( - 4,6 , 4 )

A C - = ( - 2,3 , 5 )

E como esses dois vetores são paralelos ao plano, se fizermos o produto vetorial entre eles, vamos ter um vetor ortogonal ao plano. E é dele que precisamos para equacionar esse plano. Fazendo o produto vetorial:

A B - × A C - = i ^ j ^ k ^ - 4 6 4 - 2 3 5 = i ^ 30 - 12 + j ^ - 8 + 20 + k ^ ( - 12 + 12 )

= ( 18,12,0 )

Passo 5

Agora usando o vetor ortogonal a , b , c = ( 18,12,0 ) e escolhendo o ponto A 2,0 , - 1 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) podemos escrever a equação geral do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

18 x - 2 + 12 y - 0 - 0 z + 1 = 0

18 x + 12 y - 36 = 0

E vou multiplicar por ( 1 / 6 ) só para ficar mais bonitinho, mas é firula pessoal, pode deixar assim que também está certinho! Assim a equação geral do plano fica:

3 x + 2 y - 6 = 0

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

x = 2 - 4 h - 2 t y = + 6 h + 3 t z = - 1 + 4 h + 5 t

3 x + 2 y - 6 = 0

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Nos problemas 55 e 56, determinar a equação geral do plano que contém o ponto A e a reta e interseção dos planos π 1 e π 2 : A 2,0 , 1π 1 : 2 x - 3 y - 5 z = 0 π 2 : x - y = 0
Seja o plano π : 3 x + y - z - 4 = 0 Calcular:c) O valor de k para que ponto P k , 2 , k - 1 pertença a π ;
Seja o plano π : 3 x + y - z - 4 = 0 Calcular:e) O valor de k para que o plano π 1 : k x - 4 y + 4 z - 7 = 0 seja paralelo a π .
Determinar a equação do plano paralelo ao plano π : 2 x - 3 y - z - 5 = 0 e que contenha o plano A ( 4 , - 2,1 ) .
Dado o ponto P 5,2 , 3 e o plano π : 2 x + y + z - 3 = 0 , determinar:Equações paramétricas da reta que passa por P e é perpendicular a π ;