Enunciado

Nos problemas 55 e 56, determinar a equação geral do plano que contém o ponto A e a reta e interseção dos planos π 1 e π 2 :

A 2,0 , 1                       π 1 : 2 x - 3 y - 5 z = 0                             π 2 : x - y = 0

Passo 1

Nós temos dois planos que talvez se interceptem em uma reta. Precisamos fazer duas coisas, a primeira é pegar dois pontos que estejam na interseção entre os dois planos e a outra é enconrar um terceiro plano que contenha essa reta e um ponto qualquer fora dele.

Vamos fazer isso montando um sistema com os dois planos:

2 x - 3 y - 5 z = 0 x - y = 0

Com isso, podemos dizer que:

x - y = 0

x = y

Substituindo y na primeira equação, teremos:

2 x - 3 x - 5 z = 0

- x - 5 z = 0

z = - x 5

Dessa forma, nossos conjuntos de pontos terão a forma x ,   x ,   - x 5 .

Passo 2

Como sabemos como o sistema se comporta, temos a liberdade para escolher valores para x e calcular z . Por conveniência escolhemos múltiplos de 5 para facilitar a divisão do termo z .

Inicialmente, quando x = 5 = y :

z = - 5 5 = - 1

Nosso primeiro ponto B ( 5,5 , - 1 ) .

O segundo ponto, quando x = 10 = y :

z = - 10 5 = - 2

Nosso segundo ponto será C ( 10,10 , - 2 ) .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a equação do plano que passe pelos pontos A ,   B e C :

Para isso, precisamos achar o vetor normal ao plano, então, precisamos encontrar os segmentos A B → e A C → .

Tendo os pontos A 2,0 , 1 , B ( 5,5 , - 1 ) , C ( 10,10 , - 2 ) .

O segmento A B → é dado por B - A , e o segmento A C → = C - A :

A B → = B - A = 5 - 2,5 - 0 , - 1 - 1 = ( 3,5 , - 2 )

A C → = C - A = 10 - 2,10 - 0 , - 2 - 1 = ( 8,10 , - 3 )

Por fim, faremos o produto vetorial entre esses dois vetores:

i → j → k → 3 5 - 2 8 10 - 3 = - 15 i → - 16 j → + 30 k → - 40 k → - 20 i → - 9 j → = 5 i → - 7 j → - 10 k →

Isso significa que nossa equação pode ser dada por:

5 x - 7 y - 10 z + d

Substituindo o ponto A na equação, teremos:

5 x - 7 y - 10 z + d = 0

5.2 - 7.0 - 10.1 + d = 0

10 - 10 + d = 0

d = 0

A equação será:

5 x - 7 y - 10 z = 0

Resposta

5 x - 7 y - 10 z = 0

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