Enunciado

Provar que se A e B são semelhantes então A n e B n são semelhantes, para todo n ≥ 1 . Sendo p t um polinômio, p t = a 0 + a 1 t + … + a n t n , indicamos por p A a matriz p A = a 0 I + a 1 A + … + a n A n . Provar que se A e B são semelhantes, então p A e p B são semelhantes

Passo 1

Temos que provar duas informações. Sabendo que A e B são matrizes semelhantes, temos que verificar se A n e B n são semelhantes. Com este resultado, vamos poder provar que as matrizes p A e p B também são semelhantes.

Mas, se a gente tanto fala sobre matrizes semelhantes, o que isto significa para elas? Então, as matrizes são semelhantes se existir uma matriz M invertível tal que:

M - 1 A M = B

Então, a nossa ideia é provar que existe uma matriz M invertível tal que A n e B n satisfazem a relação acima. Para isto, vamos utilizar a ideia de indução matemática. Assim, vamos verificar que ocorre para as matrizes A 2 e B 2 , A 3 e B 3 , e assim por diante.

Passo 2

Vamos começar provando que as matrizes A 2 e B 2 são semelhantes. Para isto, vamos utilizar a única relação que conhecemos, a qual é:

M - 1 A M = B

Nós não queremos provar que A 2 e B 2 são semelhantes? Então, temos que fazer aparecer B 2 de alguma forma, não é? Para isto, vamos multiplicar a matriz B em ambos lados da equação. Logo,

M - 1 A M B = B B

M - 1 A M B = B 2

Só que B = M - 1 A M . Se a gente substitui essa relação no primeiro membro, temos:

M - 1 A M M - 1 A M = B 2

Como M M - 1 = I , temos

M - 1 A I A M = B 2

M - 1 A A M = B 2

M - 1 A 2 M = B 2

Então, como existe uma matriz M invertível, temos que as matrizes A 2 e B 2 são semelhantes.

Passo 3

Vamos repetir o procedimento do Passo 2 mais uma vez, só que para as matrizes A 3 e B 3 . Começaremos da relação que obtivemos no final do Passo 2, a qual é:

M - 1 A 2 M = B 2

Então, nós não queremos provar que A 3 e B 3 são semelhantes? Então, temos que fazer aparecer B 3 de alguma forma, não é? Para isto, vamos multiplicar a matriz B em ambos lados da equação. Logo,

M - 1 A 2 M B = B 2 B

M - 1 A 2 M B = B 3

Só que B = M - 1 A M . Se a gente substitui essa relação no primeiro membro, temos:

M - 1 A 2 M M - 1 A M = B 3

M - 1 A 2 I A M = B 3

M - 1 A A M = B 3

M - 1 A 3 M = B 3

Então, temos que as matrizes A 3 e B 3 são semelhantes. Na verdade, não o valor do expoente n para as matrizes A n e B n . Se A e B são semelhantes, sempre vai existir uma matriz M invertível tal que:

M - 1 A n M = B n

Passo 4

Agora, temos que provar que as matrizes p A e p B são semelhantes também. Relembrando, essas matrizes são:

p A = a 0 I + a 1 A + … + a n A n

p B = a 0 I + a 1 B + … + a n B n

O procedimento para provarmos que elas são semelhantes é exatamente o mesmo que fizemos nos outros passos. Vamos verificar que existe uma matriz M invertível tal que:

M - 1 p A M = p B

Agora, vamos ter que desenvolver a relação. Logo,

M - 1 p A M = p B

M - 1 a 0 I + a 1 A + … + a n A n M = a 0 I + a 1 B + … + a n B n

a 0 M - 1 I M + a 1 M - 1 A M + … + a n M - 1 A n M = a 0 I + a 1 B + … + a n B n

a 0 I + a 1 M - 1 A M + … + a n M - 1 A n M = a 0 I + a 1 B + … + a n B n

Agora, temos que lembrar do resultado obtido anteriormente. Como as matrizes A n e B n são semelhantes, independentemente do valor de n , então, a soma das matrizes também são semelhantes.

Desta forma, concluímos que as matrizes p A e p B também são semelhantes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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