Enunciado

Seja H : V -> V a hometetia H_lambda (v) = lambda v , AA v in V . Calcular det (H)

Passo 1

Precisamos calcular o determinante da matriz da transformação H .

Mas, fica um pequeno problema: vamos calcular o determinante de que matriz?

Nosso primeiro trabalho então é determinar a matriz da transformação.

Então, seja B = {u_1 , u_2 , ... , u_n} uma base do espaço V . Para montarmos a matriz da transformação, vamos ter que aplicar a transformação H a cada um dos vetores da base B e depois escrever o resultado da transformação como combinação linear da base B .

Passo 2

Vamos começar as nossas contas pelo primeiro vetor da base B , u_1 . Então, temos:

H_lambda (u_1) = lambda u_1 = a_11 u_1 + a_12 u_2 + ... + a_1 n u_n

Então, a_11 = lambda , a_12 = a_13 = ... = a_1 n = 0 . Para o segundo vetor da base,

H_lambda (u_2) = lambda u_2 = a_2 1 u_1 + a_2 2 u_2 + ... + a_2 n u_n

Então, a_22 = lambda , a_21 = a_2 3 = a_24 = a_25 = ... = a_2 n = 0 . E assim por diante. Se fizermos para o último vetor da base, temos:

H_lambda (u_n) = lambda u_n = a_n 1 u_1 + a_n 2 u_2 + ... + a_n n u_n

Então, a_n 1 = lambda , a_n 1 = a_n 2 = ... = a_n ( n - 1 ) = 0 . Como vocês podem ter percebido, os únicos elementos não nulos da nossa matriz de transformação são os elementos da diagonal principal, os quais são iguais a lambda .

Portanto, a nossa matriz de transformação H é:

H = ([[lambda,0,cdots,0],[0,lambda,cdots,0],[0,0,ddots,0],[0,0,cdots,lambda]])

Passo 3

Agora, vamos para a parte mais difícil!!!! Só que não. Temos que calcular o determinante da matriz H . Como ela é uma matriz diagonal, basta multiplicarmos os elementos da diagonal principal.

Portanto,

det (H) = lambda * lambda * ... * lambda

Como temos n linhas, temos n vezes lambda . Portanto,

det (H) = lambda^n

E assim finalizamos a questão!

Resposta

det (H) = lambda^n

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