Enunciado

Prove: ( vec u , vec v ) é LI <=> ( vec u + vec v , vec u - vec v ) é LI.

Passo 1

Opa, tudo certin? Vamos pra uma questão de prova (é pra provar algo, não que ela veio de alguma prova haha)

Primeiro vamos provar que se (vec u , vec v) são LI, então (vec u + vec v , vec u - vec v) é LI

Para um conjunto ser LI temos que ter que

alpha vec u + beta vec v = 0

Só é verdade se alpha = 0 e beta = 0 . Guarda isso aí que já já a gente vai usar ;)

Passo 2

Bem, agora vamos escrever uma combinação linear do segundo conjunto

a (vec u + vec v) + b (vec u - vec v)

Agora vamos impor que

a (vec u + vec v) + b (vec u - vec v) = 0

Se esses dois vetores forem LI, então teremos que ter que a = b = 0 . Então o nosso trabalho aqui é verificar esse coeficientes.

Trabalhando nessa expressãozinha, podemos reescrever da seguinte maneira

(a + b) vec u + (a - b) vec v = 0

Ou seja, escrevemos uma combinação linear de (vec u + vec v , vec u - vec v) como uma combinação linear de (vec u , vec v) . Beleza, mas isso é útil pra que?

Lá no passo 1, partimos que os vetores vec u e vec v são LI, né? O que temos aqui é uma combinação linear de vec u e vec v e como esses vetores são LI então os coeficientes deles são necessariamente nulos! Isso significa que

a + b = 0

a - b = 0

Olha que legal! Chegamos num sistema de duas equações e duas incógnitas! Pra resolver, vou primeiro somar as duas equações

2 a = 0 -> a = 0

E da segunda equação

a - b = 0 -> b = a -> b = 0

Show! Como chegamos que a = b = 0 , isso significa que se ( vec u , vec v ) é LI então (vec u + vec v , vec u - vec v) é LI também! o/

Passo 3

Não vai embora nããããooo! Ainda falta um negócio pra provar!

Já provamos que se (vec u , vec v) é LI então ( vec u + vec v , vec u - vec v ) é LI também.

Agora temos que provar a volta: se ( vec u + vec v , vec u - vec v ) é LI, então ( vec u , vec v ) é LI também. Mas calma que a gente não vai ter esse trabalhão todo de novo!

Pra facilitar a nossa vida, vamos renomear esses vetores da seguinte forma

vec p = vec u + vec v

vec q = vec u - vec v

Somando essas duas equações

vec u = (vec p + vec q)/(2)

E subtraindo a segunda da primeira

vec v = (vec p - vec q)/(2)

Então outra forma de dizer o que queremos provar agora é: se (vec p , vec q) são LI, então ((vec p + vec q)/(2) , (vec p - vec q)/(2)) também é LI.

Mas reparou uma coisa? O que tá dito aqui é igualzinho ao que a gente provou lá nos passos 1 e 2, a menos do fator 1 // 2 que não influencia no resultado!

Isso significa que a volta também é verdadeira e assim provamos o que o exercício pediu \o/

Resposta

Prova acima

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