Enunciado

Obtenha uma equação geral do plano π que contém a reta r : X = 0,4 , 0 + λ 1,4 , - 1 e forma ângulos congruentes com as retas s : X = 1,1 , 0 + λ 1,2 , - 6 e t : X = 3,1 , 1 + λ 3,4 , 4 .

Passo 1

A questão nos pede para determinar a equação geral de um plano π . Isto é, determinar os valores de a , b , c e d tais que π : a x + b y + c z + d = 0

Inicialmente, vamos focar em determinar os valores de a , b e c , pois eles são as coordenadas do vetor normal ao plano, n → = a , b , c .

Então, vamos a nossa primeira relação. De cara, a questão diz que o plano π contém a reta. Isto nos diz duas informações: os pontos de r pertencem a π (utilizaremos esta informação no final para descobrir o valor de d ), e que o vetor r → = 1,4 , - 1 é ortogonal ao vetor n → .

Se dois vetores são ortogonais, temos:

r → ⋅ n → = 0

1,4 , - 1 ⋅ a , b , c = 0

a + 4 b - c = 0

c = a + 4 b

Portanto, o vetor normal ao plano tem o formato n → = a , b , a + 4 b .

Passo 2

Precisamos de mais uma relação para poder finalizarmos o vetor diretor. Esta relação sairá da congruência de π com s e t . Ângulos congruentes nada mais são do que mesmos.

Portanto, a medida angular de π e s é exatamente a mesma medida angular de π e t . Escrevendo esta rela

sen ⁡ θ = s → ⋅ n → | | s → | | ⋅ | | n → | | = t → ⋅ n → | | t → | | ⋅ | | n → | |

s → ⋅ n → | | s → | | = t → ⋅ n → | | t → | |

1,2 , - 6 ⋅ a , b , a + 4 b 1 2 + 2 2 + 6 2 = 3,4 , 4 ⋅ a , b , a + 4 b 3 2 + 4 2 + 4 2

a + 2 b - 6 a - 24 b 41 = 3 a + 4 b + 4 a + 16 b 41

- 5 a - 22 b = 7 a + 20 b

Então, temos duas possibilidades:

- 5 a - 22 b = 7 a + 20 b - 5 a - 22 b = - 7 a - 20 b

Da primeira equação, obtemos 12 a = - 42 b . Então, a = - 7 b / 2 . Com isto, vamos obter o vetor normal n → 1 = - 7 b 2 , b , b 2 . Ou também, escrevendo através de um vetor paralelo, temos n → 1 = - 7,2 , 1 . Portanto, o plano π 1 possui o seguinte formato:

π 1 : - 7 x + 2 y + z + d 1 = 0

Repetindo o procedimento para a segunda equação, vamos obter a = b . Portanto, n → 2 = b , b , 5 b . Obtendo um vetor paralelo, n → 2 = 1,1 , 5 , e o plano π 2 possui o seguinte formato:

π 2 : x + y + 5 z + d 2 = 0

Passo 3

Para finalizarmos a questão, precisamos descobrir o valor de d nas equações de π 1 e π 2 . Para isto, basta substituir as coordenadas 0,4 , 0 , que pertencem tanto a reta r quanto aos planos π , na equação de cada plano e descobrir o valor de d 1 associado.

Começando pelo plano π 1 , temos:

8 + d 1 = 0

d 1 = - 8

Já para π 2 , temos:

4 + d 2 = 0

d 2 = - 4

Portanto, os planos π 1 e π 2 são:

π 1 : - 7 x + 2 y + z - 8 = 0

π 2 : x + y + 5 z - 4 = 0

Resposta

π 1 : - 7 x + 2 y + z - 8 = 0

π 2 : x + y + 5 z - 4 = 0

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O vértice de uma pirâmide regular é P = 2 , 2,0 e sua base é um quadrado A B C D contido no plano π : x - z = 0 . Sendo A = 0,2 , 0 , determine os outros três vértices.
Determinar o ângulo formado pela reta r : y = - 2 x z = 2 x + 1 E o plano π : x - y + 5 = 0 .
Determinar o ângulo que a reta r : { x - 2 3 = y - 4 = z + 1 5 Forma com o olnao π : 2 x - y + 7 z - 1 = 0 .
Seja a reta: r : x = 3 + t y = 1 - 2 t z = - 1 + 2 t a) Quais as equações reduzidas da projeção de r sobre o plano x O y ? E Sobre o plano x O z ? b) Qual o ângulo que r forma com o plano x O y ?