Lista de Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições

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Prove que: se { u , v , w } é L I , então { u + v , v + w , w + u } é L I .

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Verifique que { u - v , v - w , w - u } é um conjunto L D e torne o conjunto L I .

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Se λ 2 ,   … ,   λ n é um conjunto qualquer de escalares e u 1 ,   … ,   u n são vetores de um espaço vetorial V , então as seguintes condições são equivalentes:

(a) u 1 , … , u n é linearmente independente.

(b) u 1 ,   u 2 + λ 2 u 1 ,   … ,   u n + λ n u 1 é linearmente independente.

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Escolha uma opção. Dizer que { v 1 ,   v 2 ,   … , v n } é L I é o mesmo que dizer que:

  1. Se λ 1 = … = λ n = 0 , então λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0
  2. λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0 para todo λ i ∈ R
  3. Se λ 1 v 1 + … + λ n v n = 0 , então λ 1 = … = λ n = 0
  4. v i ≠ 0 para todo i = 1 , … , n
  5. v i não é múltiplo de v k se i ≠ k

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Prove que, se um conjunto de n vetores for L D , podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos demais.

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Prove que: se { v 1 , v 2 , v 3 } é L I e v ∉ s p a n { v 1 , v 2 , v 3 } , então { v + v 1 , v + v 2 , v + v 3 } é L I .

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A questão 4 c da P 1 era: “Sejam v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3   vetores de R n . Suponha que v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores linearmente independentes e que v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 . Os vetores v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3 são linearmente independentes? Justifique.” A resposta do Joãozinho foi:

  1. Escreva a definição de 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 .
  2. Qual hipótese do enunciado da questão 4 c o Joãozinho não usou? Dê um exemplo onde, sem essa hipótese v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v são linearmente dependentes
  3. Escreva uma demonstração correta e completa que os vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v são linearmente independentes começando por:

“Sejam escalares α ,   α 1 ,   α 2 ,   α 3 tais que α v + α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se u   e v   são vetores de R 3 tais que o conjunto { u ,   v } é L D (Linearmente Dependente), então u   ×   v   =   0 .

(b) Se u   e v são vetores de R 3 tais que o conjunto { u ,   v } é L I   (Linearmente Independente), então u   ·   v   =   0 .

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(a) Se C   =   { u 1 ,   u 2 ,   . . .   ,   u m } é um conjunto de vetores de R n que contém o vetor nulo, então C   é um conjunto linearmente dependente.

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c) Se { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } é um subconjunto L I de um espaço vetorial, então { v 1 –   v 2 ,   v 2 - v 3 ,   v 3 }

também é L I

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Considere os vetores u → = ( a , b , c ) , v → = ( d , e , f ) e w → = ( g , h , i ) e a matriz 5 × 3

A = a d g ∎ ∎ ∎ b e h ∎ ∎ ∎ c f i

Onde cada representa um escalar qualquer. (Observação: dois ’s podem representar valores distintos.)

I – Se { u → , v → , w → } é LI, então as colunas de A são LI.

II – Se { u → , v → , w → } é LD, então as colunas de A são LD.

(a) I é falsa e II é falsa.

(b) I é falsa e II é verdadeira.

(c) I é verdadeira e II é verdadeira.

(d) I é verdadeira e II é falsa.

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Considere α ⊂ R 3 ,   β ⊂ R 4 ,   γ ⊂ R 4 abaixo:

α = x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   y 1 ,   y 2 ,   y 3 ,   z 1 ,   z 2 ,   z 3

β = x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   0 ,   y 1 ,   y 2 ,   y 3 ,   0 ,   z 1 ,   z 2 ,   z 3 ,   0

γ = x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   1 ,   y 1 ,   y 2 ,   y 3 ,   1 ,   z 1 ,   z 2 ,   z 3 ,   1

Sabendo-se que α é linearmente dependente, considere as afirmativas abaixo:

( I ) Pode-se afirmar que γ é linearmente dependente.

I I Pode-se afirmar que β é linearmente dependente.

a) ( I ) é falsa e ( I I ) é verdadeira.

b) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é falsa.

c) ( I ) é verdadeira e ( I I ) é verdadeira.

d) ( I ) é falsa e ( I I ) é falsa.

e) Não sei.

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Se A é uma transformação linear, qual das alternativas abaixo é verdadeira?

a Podemos ter v 1 , v 2 , ⋯ , v k linearmente dependentes e A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k linearmente independentes.

b   Se A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k são linearmente dependentes, então v 1 , v 2 , ⋯ , v k são linearmente dependentes.

c   Se v 1 , v 2 , ⋯ , v k são linearmente independentes, então A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k são linearmente independentes.

d   Se A v 1 , A v 2 , ⋯ , A v k são linearmente independentes, então v 1 , v 2 , ⋯ , v k são linearmente independentes.

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