Lista de Exercícios Resolvidos de Dependência Linear e Proposições
Prove que: se é , então é .
Ver solução completaVerifique que é um conjunto e torne o conjunto .
Ver solução completaSe é um conjunto qualquer de escalares e são vetores de um espaço vetorial , então as seguintes condições são equivalentes:
(a) é linearmente independente.
(b) é linearmente independente.
Ver solução completaEscolha uma opção. Dizer que é é o mesmo que dizer que:
- Se , então
- para todo
- Se , então
- para todo
- não é múltiplo de se
Prove que, se um conjunto de vetores for , podemos escrever um dos vetores como combinação linear dos demais.
Ver solução completaProve que: se é e , então é .
Ver solução completaA questão da era: “Sejam vetores de . Suponha que são vetores linearmente independentes e que . Os vetores são linearmente independentes? Justifique.” A resposta do Joãozinho foi:
- Escreva a definição de .
- Qual hipótese do enunciado da questão o Joãozinho não usou? Dê um exemplo onde, sem essa hipótese são linearmente dependentes
- Escreva uma demonstração correta e completa que os vetores são linearmente independentes começando por:
“Sejam escalares tais que ”
Ver solução completaDecida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(a) Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Dependente), então .
(b) Se e são vetores de tais que o conjunto é (Linearmente Independente), então
Ver solução completaDecida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.
(a) Se é um conjunto de vetores de que contém o vetor nulo, então é um conjunto linearmente dependente.
Ver solução completaConsidere os vetores , e e a matriz
Onde cada representa um escalar qualquer. (Observação: dois ’s podem representar valores distintos.)
I – Se é LI, então as colunas de A são LI.
II – Se é LD, então as colunas de A são LD.
(a) I é falsa e II é falsa.
(b) I é falsa e II é verdadeira.
(c) I é verdadeira e II é verdadeira.
(d) I é verdadeira e II é falsa.
Ver solução completaConsidere abaixo:
Sabendo-se que é linearmente dependente, considere as afirmativas abaixo:
Pode-se afirmar que é linearmente dependente.
Pode-se afirmar que é linearmente dependente.
a) é falsa e é verdadeira.
b) é verdadeira e é falsa.
c) é verdadeira e é verdadeira.
d) é falsa e é falsa.
e) Não sei.
Ver solução completaSe é uma transformação linear, qual das alternativas abaixo é verdadeira?
Podemos ter linearmente dependentes e linearmente independentes.
Se são linearmente dependentes, então são linearmente dependentes.
Se são linearmente independentes, então são linearmente independentes.
Se são linearmente independentes, então são linearmente independentes.
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