Enunciado

Prove que, se ( u → ,   v → ) é LI e w → ∧ u → = w → ∧ v → = 0 → , então w → = 0 → . Interpreta geometricamente.

Passo 1

Bom, nesse problema, temos que w → é LD tanto com u → como v → (que são LI entre si). Queremos provar que o único jeito disso acontecer é se w → = 0 → .

Se w → ∧ u → = 0 → , então ( w → ,   u → ) é LD:

w → = a   u →

Analogamente, se w → ∧ v → = 0 → , então

w → = - b   v →

Usei o sinal de na frente do b por motivos que ficarão claros em seguida.

Igualando as expressões:

a   u → + b   v → = 0 →

Passo 2

Por outro lado, sabemos que u → ,   v → é LI, o que significa que a única solução da equação

a   u → + b   v → = 0 →

é

a = b = 0

Assim, a única forma de u → ,   v → serem LI e w → ∧ u → = w → ∧ v → = 0 → é com a = b = 0 . Mas neste caso,

w → = 0 →

Passo 3

Geometricamente, o que isso significa é w → não pode ser simultaneamente paralelo a dois vetores que não são paralelos entre si!

Resposta

Demonstração.

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