Enunciado

a) Prove que, se θ = a n g   u → ,   v → , então u → 2 v → 2 - u → ⋅ v → 2 = u → 2 v → 2   s e n 2 θ . Conclua que, na Definição 11-1, a condição ( b 1 ), pode ser substituída por

u → ∧ v → 2 = u → 2 v → 2 - u → ⋅ v → 2

b) Calcule a norma de u → ∧ v → , sabendo que u → ⋅ v → = 3 , u → = 1 e v → = 5 .

c) Em relação a uma base ortonormal, a → = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) e b → = ( - 2 ,   1 ,   - 2 ) . Calcule a → ∧ b → .

d) O lado do triângulo equilátero A B C mede a . Calcule A B → ∧ A C → em função de a .

e) Seja A B C D um tetraedro regular de aresta unitária. Calcule A B → ∧ C D → .

Passo 1

A demonstração do item (a) é bem simples e seu resultado vai ser usado em todos os demais itens. Sabemos que

u → 2 v → 2 = u → 2 v → 2 ⋅ 1 = u → 2 v → 2   ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ )

Assim,

u → 2 v → 2 = u → v → cos ⁡ θ 2 + u → 2 v → 2   s e n 2 θ

Mas o termo entre parênteses é o produto escalar:

u → 2 v → 2 = u → ⋅ v → 2 + u → 2 v → 2   s e n 2 θ

Portanto,

u → 2 v → 2 - u → ⋅ v → 2 = u → 2 v → 2   s e n 2 θ

Mas da definição da norma de um produto vetorial:

u → ∧ v → = u → v →   s e n   θ

Com isso,

u → ∧ v → 2 = u → 2 v → 2 - u → ⋅ v → 2

Essa fórmula é um jeito simples de calcular a norma de um produto vetorial entre dois vetores se conhecermos o produto escalar! Nos próximos itens vamos usar bastante ela!

Passo 2

No item (b) temos u → ⋅ v → = 3 , u → = 1 e v → = 5 . Usando a fórmula do item (a):

u → ∧ v → 2 = 1 2 ⋅ 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Portanto,

u → ∧ v → = 4

Passo 3

No item (c), temos a → = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) e b → = ( - 2 ,   1 ,   - 2 ) , de modo que

a → = 6               e             b → = 9 = 3

Já o produto escalar:

a → ⋅ b → = - 2 - 2 - 2 = - 6

Assim,

a → ∧ b → 2 = 6 2 ⋅ 3 2 - - 6 2 = 6 ⋅ 9 - 36 = 54 - 36 = 18

Portanto,

a → ∧ b → = 3 2

Passo 4

No item (d) temos dois vetores com norma a que forma 60 ° :

A B → = A C → = a               e             A B → ⋅ A C → = a ⋅ a ⋅ cos ⁡ 60 ° = a 2 2

Assim,

A B → ∧ A C → 2 = a 2 ⋅ a 2 - a 2 2 2 = a 4 - a 4 4 = 3 a 4 4

Portanto,

A B → ∧ A C → = a 2 3 2

Passo 5

Por fim, vamos ao item (e), em que temos um tetraedro regular A B C D .

Vamos calcular primeiro o produto escalar   A B → ⋅ C D → . Para isso, escrevemos

C D → = C A → + A D → = A D → - A C →

Portanto,

A B → ⋅ C D → = A B → ⋅ A D → - A C → = A B → ⋅ A D → - A B → ⋅ A C →

Mas note que tanto  A B → e   A D → como   A B → e   A C → são lados de uma mesma face do tetraedro, de modo que os dois produtos escalar são iguais:

A B → ⋅ A D → = A B → ⋅ A C → = 1 ⋅ 1 ⋅ cos ⁡ 60 ° = 1 2

Portanto,

A B → ⋅ C D → = 1 2 - 1 2 = 0

Logo,

A B → ∧ C D → 2 = 1 2 ⋅ 1 2 - 0 = 1

Assim,

A B → ∧ C D → = 1

Resposta

u → ∧ v → = 4

a → ∧ b → = 3 2

A B → ∧ A C → = a 2 3 2

A B → ∧ C D → = 1

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Determine a ⋅ b para a =- 2,1 / 3 eb =- 5,12 .
Determine o produto escalar de dois vetores cujas normas sejam respectivamente 6 e 1 3 tal que o ângulo entre eles seja π / 4 .
Quais das seguintes expressões têm significado? Quais não fazem sentido? Explique. a ⋅ b ⋅ c ( a ⋅b )c a b ⋅ c a ⋅ ( b + c ) a ⋅b+ c a ⋅ b + c
Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.) a =3 ,1b =- 2,4 , 3
Determinea.b para | a | = 6 e | b | = 5 , e o ângulo entre a e b é 2 π / 3